题目

8.点A的直角坐标是 (-dfrac (sqrt {3)}(4),-dfrac (3)(4),dfrac (1)(2)), 求它的球坐标与柱坐标.

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查直角坐标系与球坐标系、柱坐标系之间的转换关系，涉及空间坐标系的转换公式及角度计算。

解题核心思路：

  1. 球坐标的转换需计算半径$r$、方位角$\theta$和极角$\phi$。其中，$r$是点到原点的距离；$\theta$是点在$xy$平面上的投影与$x$轴的夹角；$\phi$是点与原点连线与$z$轴正方向的夹角。
  2. 柱坐标的转换需计算径向距离$\rho$、方位角$\theta$和高度$z$。其中，$\rho$是点在$xy$平面上的投影到原点的距离，$\theta$与球坐标中的$\theta$相同，$z$直接取直角坐标的$z$值。

破题关键点：

  • 正确应用公式：球坐标的$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$（需根据象限调整角度），$\phi = \arcsin\left(\frac{z}{r}\right)$；柱坐标的$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$。
  • 角度符号与象限：注意$\theta$的计算需结合$x$和$y$的符号确定所在象限，确保角度正确。

球坐标转换

  1. 计算半径$r$：
    $r = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{16} + \frac{9}{16} + \frac{4}{16}} = \sqrt{1} = 1$

  2. 计算方位角$\theta$：

    • $x = -\frac{\sqrt{3}}{4}$，$y = -\frac{3}{4}$，均负，点在第三象限。
    • $\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3}}{1} \Rightarrow \theta = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$，但需调整到第三象限：
      $\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \quad \text{或等价表示为} \quad \theta = -\frac{2\pi}{3}$

  3. 计算极角$\phi$：
    $\phi = \arcsin\left(\frac{z}{r}\right) = \arcsin\left(\frac{1/2}{1}\right) = \frac{\pi}{6}$

柱坐标转换

  1. 计算径向距离$\rho$：
    $\rho = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

  2. 方位角$\theta$与球坐标相同，高度$z = \frac{1}{2}$。