4.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为-|||-f(x,y)= ) (e)^-y,0lt xlt y 0, .-|||-求fx(x)和fy(y),并判断X,Y是否相互独立.

考查要点：本题主要考查二维随机变量的边缘概率密度计算及随机变量独立性的判断。

解题核心思路：

1. 边缘概率密度的求法：对联合概率密度在某一变量上积分，注意积分上下限由联合密度的非零区域决定。
2. 独立性判断：验证联合密度是否等于边缘密度的乘积，即$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$是否对所有$x,y$成立。

破题关键点：

• 积分区域的确定：根据联合密度非零的条件$0 < x < y$，确定对$x$或$y$积分时的上下限。
• 独立性的本质：若存在某点$(x,y)$使得$f(x,y) \neq f_X(x)f_Y(y)$，则变量不独立。

求$X$的边缘概率密度$f_X(x)$

当$x \leq 0$时，$f(x,y)=0$，故$f_X(x)=0$。

当$x > 0$时，根据联合密度非零的条件$0 < x < y$，对$y$从$x$到$+\infty$积分：
$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_{x}^{+\infty} e^{-y} \, dy = \left[ -e^{-y} \right]_{x}^{+\infty} = e^{-x}.$

综上：
$f_X(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x > 0, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

求$Y$的边缘概率密度$f_Y(y)$

当$y \leq 0$时，$f(x,y)=0$，故$f_Y(y)=0$。

当$y > 0$时，根据联合密度非零的条件$0 < x < y$，对$x$从$0$到$y$积分：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx = \int_{0}^{y} e^{-y} \, dx = e^{-y} \cdot \int_{0}^{y} 1 \, dx = y e^{-y}.$

综上：
$f_Y(y) = \begin{cases} y e^{-y}, & y > 0, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

判断独立性

若$X$和$Y$独立，则$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$。计算乘积：
$f_X(x)f_Y(y) = e^{-x} \cdot y e^{-y} = y e^{-(x+y)}.$

而原联合密度为：
$f(x,y) = \begin{cases} e^{-y}, & 0 < x < y, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

显然，当$0 < x < y$时，$f_X(x)f_Y(y) = y e^{-(x+y)} \neq e^{-y}$（除非$y=1$且$x=0$，但一般不成立）。因此，$X$和$Y$不相互独立。