题目
(1)已知e1,e2是夹角为 dfrac (2)(3)pi 的两个单位向量,-|||-overrightarrow (a)=overrightarrow ({e)_(1)}-2overrightarrow ({e)_(2)} ,overrightarrow (b)=k(overrightarrow {e)}_(1)+(overrightarrow {e)}_(2). 若 overrightarrow (a)cdot overrightarrow (b)=0, 则k的值-|||-为 __-|||-(2)在 Delta ABC 中, overrightarrow (AB)=(2,3) overrightarrow (AC)=(1,,-|||-k),求实数k的值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}$
根据向量点积的定义，我们有：
$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b} = (\overrightarrow {{e}_{1}}-2\overrightarrow {{e}_{2}})\cdot (k{\overrightarrow {e}}_{1}+{\overrightarrow {e}}_{2})$
步骤 2：展开点积
将点积展开，我们得到：
$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b} = k\overrightarrow {{e}_{1}}\cdot \overrightarrow {{e}_{1}} + \overrightarrow {{e}_{1}}\cdot \overrightarrow {{e}_{2}} - 2k\overrightarrow {{e}_{2}}\cdot \overrightarrow {{e}_{1}} - 2\overrightarrow {{e}_{2}}\cdot \overrightarrow {{e}_{2}}$
步骤 3：利用单位向量和夹角信息
由于 $\overrightarrow {{e}_{1}}$ 和 $\overrightarrow {{e}_{2}}$ 是单位向量，且它们的夹角为 $\dfrac {2}{3}\pi$，我们有：
$\overrightarrow {{e}_{1}}\cdot \overrightarrow {{e}_{1}} = 1$，$\overrightarrow {{e}_{2}}\cdot \overrightarrow {{e}_{2}} = 1$，$\overrightarrow {{e}_{1}}\cdot \overrightarrow {{e}_{2}} = \overrightarrow {{e}_{2}}\cdot \overrightarrow {{e}_{1}} = \cos(\dfrac {2}{3}\pi) = -\dfrac {1}{2}$
步骤 4：代入并求解k
将上述信息代入点积表达式，我们得到：
$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b} = k(1) + (-\dfrac {1}{2}) - 2k(-\dfrac {1}{2}) - 2(1) = k - \dfrac {1}{2} + k - 2 = 2k - \dfrac {5}{2}$
由于 $\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b} = 0$，我们有：
$2k - \dfrac {5}{2} = 0$
解得：$k = \dfrac {5}{4}$
步骤 5：计算 $\overrightarrow {BC}$
$\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = (1, k) - (2, 3) = (-1, k-3)$
步骤 6：考虑直角三角形的三种情况
当 $A={90}^{\circ }$ 时，$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=0$，则 $2+3k=0$，得 $k=-\dfrac {2}{3}$
当 $B={90}^{\circ }$ 时，$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {BC}=0$，即 $2\times (-1)-3\times (k-3)=0$，得 $k=\dfrac {11}{3}$
当 $C={90}^{\circ }$ 时，$\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {BC}=0$，即 $1\times (-1)+k(k-3)=0$，得 $k=\dfrac {3\pm \sqrt {13}}{2}$
根据向量点积的定义，我们有：
$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b} = (\overrightarrow {{e}_{1}}-2\overrightarrow {{e}_{2}})\cdot (k{\overrightarrow {e}}_{1}+{\overrightarrow {e}}_{2})$
步骤 2：展开点积
将点积展开，我们得到：
$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b} = k\overrightarrow {{e}_{1}}\cdot \overrightarrow {{e}_{1}} + \overrightarrow {{e}_{1}}\cdot \overrightarrow {{e}_{2}} - 2k\overrightarrow {{e}_{2}}\cdot \overrightarrow {{e}_{1}} - 2\overrightarrow {{e}_{2}}\cdot \overrightarrow {{e}_{2}}$
步骤 3：利用单位向量和夹角信息
由于 $\overrightarrow {{e}_{1}}$ 和 $\overrightarrow {{e}_{2}}$ 是单位向量，且它们的夹角为 $\dfrac {2}{3}\pi$，我们有：
$\overrightarrow {{e}_{1}}\cdot \overrightarrow {{e}_{1}} = 1$，$\overrightarrow {{e}_{2}}\cdot \overrightarrow {{e}_{2}} = 1$，$\overrightarrow {{e}_{1}}\cdot \overrightarrow {{e}_{2}} = \overrightarrow {{e}_{2}}\cdot \overrightarrow {{e}_{1}} = \cos(\dfrac {2}{3}\pi) = -\dfrac {1}{2}$
步骤 4：代入并求解k
将上述信息代入点积表达式，我们得到：
$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b} = k(1) + (-\dfrac {1}{2}) - 2k(-\dfrac {1}{2}) - 2(1) = k - \dfrac {1}{2} + k - 2 = 2k - \dfrac {5}{2}$
由于 $\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b} = 0$，我们有：
$2k - \dfrac {5}{2} = 0$
解得：$k = \dfrac {5}{4}$
步骤 5：计算 $\overrightarrow {BC}$
$\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = (1, k) - (2, 3) = (-1, k-3)$
步骤 6：考虑直角三角形的三种情况
当 $A={90}^{\circ }$ 时，$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=0$，则 $2+3k=0$，得 $k=-\dfrac {2}{3}$
当 $B={90}^{\circ }$ 时，$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {BC}=0$，即 $2\times (-1)-3\times (k-3)=0$，得 $k=\dfrac {11}{3}$
当 $C={90}^{\circ }$ 时，$\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {BC}=0$，即 $1\times (-1)+k(k-3)=0$，得 $k=\dfrac {3\pm \sqrt {13}}{2}$