15、设f(x)在[0 ,1]上连续,在(0 ,1)内可导,且 (0)=f(1) 证明:存在两个不同的ξ, in (0,1), 使得-|||-'(xi )+f'(n)=0

考查要点：本题主要考查微分中值定理的应用，特别是拉格朗日中值定理的灵活运用，以及通过构造特定点来建立导数关系的能力。

解题核心思路：
题目给出函数$f(x)$在闭区间连续、开区间可导且端点函数值相等，需证明存在两个不同点导数之和为零。关键在于将区间对半分，分别在子区间应用中值定理，得到两个导数表达式，再通过端点值相等的条件，使两者相加后抵消，从而得到所求关系。

破题关键点：

1. 构造中间点$t=1/2$，将原区间分为$[0,1/2]$和$[1/2,1]$。
2. 两次应用拉格朗日中值定理，分别得到两个导数表达式。
3. 利用$f(0)=f(1)$的条件，使两个导数之和自然为零。

步骤1：分割区间并应用中值定理
将区间$[0,1]$分为两部分：$[0,1/2]$和$[1/2,1]$。

• 在$[0,1/2]$上，由拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0,1/2)$，使得：
  $f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0) = f'(\xi) \cdot \frac{1}{2} \implies f'(\xi) = 2\left[f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0)\right].$
• 在$[1/2,1]$上，同理存在$\eta \in \left(\frac{1}{2},1\right)$，使得：
  $f(1) - f\left(\frac{1}{2}\right) = f'(\eta) \cdot \frac{1}{2} \implies f'(\eta) = 2\left[f(1) - f\left(\frac{1}{2}\right)\right].$

步骤2：导数之和的计算
将$f'(\xi)$与$f'(\eta)$相加：
$\begin{aligned}f'(\xi) + f'(\eta) &= 2\left[f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0)\right] + 2\left[f(1) - f\left(\frac{1}{2}\right)\right] \\&= 2\left[f(1) - f(0)\right].\end{aligned}$
由于题目条件$f(0) = f(1)$，代入得：
$f'(\xi) + f'(\eta) = 2\left[f(0) - f(0)\right] = 0.$

步骤3：验证点的差异性
$\xi \in (0,1/2)$，$\eta \in (1/2,1)$，显然$\xi \neq \eta$，因此$\xi$与$\eta$是两个不同的点。