题目
1、计算下列二重积分：(2)iintlimits_(D)(3x+2y)dsigma，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；
1、计算下列二重积分：
(2)$\iint\limits_{D}(3x+2y)d\sigma$，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；
题目解答
答案
将积分区域 $D$ 描述为 $0 \leq x \leq 2$，$0 \leq y \leq 2-x$，则二重积分为：
\[
\int_{0}^{2} \int_{0}^{2-x} (3x + 2y) \, dy \, dx
\]
先对 $y$ 积分：
\[
\int_{0}^{2-x} (3x + 2y) \, dy = \left[ 3xy + y^2 \right]_{0}^{2-x} = 3x(2-x) + (2-x)^2 = 6x - 3x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2x - 2x^2 + 4
\]
再对 $x$ 积分：
\[
\int_{0}^{2} (2x - 2x^2 + 4) \, dx = \left[ x^2 - \frac{2x^3}{3} + 4x \right]_{0}^{2} = 4 - \frac{16}{3} + 8 = \frac{20}{3}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{20}{3}}$
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 由两坐标轴及直线 $x+y=2$ 所围成，可以描述为 $0 \leq x \leq 2$，$0 \leq y \leq 2-x$。
步骤 2：设置二重积分
根据积分区域 $D$，二重积分可以表示为： \[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{2-x} (3x + 2y) \, dy \, dx \]
步骤 3：对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分： \[ \int_{0}^{2-x} (3x + 2y) \, dy = \left[ 3xy + y^2 \right]_{0}^{2-x} = 3x(2-x) + (2-x)^2 = 6x - 3x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2x - 2x^2 + 4 \]
步骤 4：对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分： \[ \int_{0}^{2} (2x - 2x^2 + 4) \, dx = \left[ x^2 - \frac{2x^3}{3} + 4x \right]_{0}^{2} = 4 - \frac{16}{3} + 8 = \frac{20}{3} \]
积分区域 $D$ 由两坐标轴及直线 $x+y=2$ 所围成，可以描述为 $0 \leq x \leq 2$，$0 \leq y \leq 2-x$。
步骤 2：设置二重积分
根据积分区域 $D$，二重积分可以表示为： \[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{2-x} (3x + 2y) \, dy \, dx \]
步骤 3：对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分： \[ \int_{0}^{2-x} (3x + 2y) \, dy = \left[ 3xy + y^2 \right]_{0}^{2-x} = 3x(2-x) + (2-x)^2 = 6x - 3x^2 + 4 - 4x + x^2 = 2x - 2x^2 + 4 \]
步骤 4：对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分： \[ \int_{0}^{2} (2x - 2x^2 + 4) \, dx = \left[ x^2 - \frac{2x^3}{3} + 4x \right]_{0}^{2} = 4 - \frac{16}{3} + 8 = \frac{20}{3} \]