题目

题型说明:共15题,每题2分。36.(2.0分)(tan x)^prime=1/(cos x)^2=(sec x)^2=( )

题型说明:共15题,每题2分。 36.(2.0分)$(\tan x)^{\prime}=1/(\cos x)^{2}=(\sec x)^{2}=( )$

题目解答

答案

根据三角函数的求导法则，$(\tan x)'$ 可以通过商法则或直接记忆得出。 1. 由 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，应用商法则： \[ (\tan x)' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \] 2. 或者，直接记忆 $(\tan x)' = \sec^2 x$。 3. 又因为 $\sec x = \frac{1}{\cos x}$，所以 $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$。 综上，$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$。 答案：$\boxed{\sec^2 x}$

解析

本题考查三角函数求导公式以及三角函数之间的关系。解题思路是先明确$\tan x$的定义，然后利用商法则对其求导，再结合三角函数的平方关系和倒数关系进行化简，最后得出结果。

  1. 首先，根据三角函数的定义可知$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$。
  2. 然后，对$\tan x$使用商法则求导。商法则公式为$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，对于$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，这里$u = \sin x$，$v = \cos x$。
    • 对$u = \sin x$求导，根据求导公式$(\sin x)^\prime=\cos x$，可得$u^\prime=\cos x$。
    • 对$v = \cos x$求导，根据求导公式$(\cos x)^\prime=-\sin x$，可得$v^\prime=-\sin x$。
    • 将$u$、$v$、$u^\prime$、$v^\prime$代入商法则公式可得：
      $\begin{align*}(\tan x)^\prime&=(\frac{\sin x}{\cos x})^\prime\\&=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}\\&=\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}\end{align*}$
  3. 接着，根据三角函数的平方关系$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，对上式进行化简：
    $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}$
  4. 最后，根据三角函数的倒数关系$\sec x = \frac{1}{\cos x}$，可得$\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$。