齐次线性方程组 ) (lambda +3)(x)_(1)+(x)_(2)+2(x)_(3)=0 lambda (x)_(1)+(x)_(3)=0 2lambda (x)_(2)+(lambda +3)(x)_(3)=0 .

步骤 1：确定齐次线性方程组有非零解的条件
齐次线性方程组有非零解的条件是其系数矩阵的行列式等于0。因此，我们需要计算系数矩阵的行列式，并令其等于0。

步骤 2：计算系数矩阵的行列式
系数矩阵为：
$$
\begin{pmatrix}
\lambda + 3 & 1 & 2 \\
\lambda & 0 & 1 \\
0 & 2\lambda & \lambda + 3
\end{pmatrix}
$$
计算行列式：
$$
\begin{vmatrix}
\lambda + 3 & 1 & 2 \\
\lambda & 0 & 1 \\
0 & 2\lambda & \lambda + 3
\end{vmatrix}
$$
使用行列式的展开公式，我们得到：
$$
(\lambda + 3) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2\lambda & \lambda + 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda + 3 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & 2\lambda \end{vmatrix}
$$
计算每个2x2行列式：
$$
(\lambda + 3) \left(0 \cdot (\lambda + 3) - 1 \cdot 2\lambda\right) - 1 \left(\lambda \cdot (\lambda + 3) - 1 \cdot 0\right) + 2 \left(\lambda \cdot 2\lambda - 0 \cdot 0\right)
$$
简化得到：
$$
(\lambda + 3) \cdot (-2\lambda) - 1 \cdot (\lambda^2 + 3\lambda) + 2 \cdot (2\lambda^2)
$$
$$
-2\lambda(\lambda + 3) - \lambda^2 - 3\lambda + 4\lambda^2
$$
$$
-2\lambda^2 - 6\lambda - \lambda^2 - 3\lambda + 4\lambda^2
$$
$$
\lambda^2 - 9\lambda
$$
$$
\lambda(\lambda - 9)
$$
步骤 3：令行列式等于0
令行列式等于0，得到：
$$
\lambda(\lambda - 9) = 0
$$
解得：
$$
\lambda = 0 \quad \text{或} \quad \lambda = 9
$$