函数y=x+2cosx在区间[0，(π)/(2)]上的最大值是 ____ ．

考查要点：本题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最大值的方法，涉及导数的计算、临界点的确定以及函数单调性的分析。

解题核心思路：

1. 求导确定函数的单调性变化点（临界点）；
2. 分析导数符号判断临界点是否为极值点；
3. 比较端点与临界点的函数值，确定最大值。

破题关键点：

• 正确求导：函数由$x$和$2\cos x$组成，导数需分别计算后相加；
• 解方程$y'=0$找到临界点，并验证其是否在给定区间内；
• 单调性分析：通过导数的正负确定函数在区间内的增减趋势，从而判断极值类型；
• 端点比较：最大值可能出现在临界点或区间端点，需逐一计算后比较。

步骤1：求导数
函数$y = x + 2\cos x$的导数为：
$y' = 1 - 2\sin x$

步骤2：求临界点
令$y' = 0$，即：
$1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$
在区间$[0, \frac{\pi}{2}]$内，解得：
$x = \frac{\pi}{6}$

步骤3：分析单调性

• 当$x \in [0, \frac{\pi}{6})$时，$\sin x < \frac{1}{2}$，故$y' = 1 - 2\sin x > 0$，函数单调递增；
• 当$x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$时，$\sin x > \frac{1}{2}$，故$y' = 1 - 2\sin x < 0$，函数单调递减。
  因此，$x = \frac{\pi}{6}$是极大值点，也是区间内的最大值点。

步骤4：计算函数值

• 在临界点$x = \frac{\pi}{6}$处：
  $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} + 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3}$
• 在端点$x = 0$处：
  $y(0) = 0 + 2\cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$
• 在端点$x = \frac{\pi}{2}$处：
  $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$

步骤5：比较大小
$\frac{\pi}{6} + \sqrt{3} \approx 0.523 + 1.732 = 2.255$
$\frac{\pi}{2} \approx 1.571$
显然，$\frac{\pi}{6} + \sqrt{3}$最大。