题目
【单选题】设 A , B 为 n 阶方阵,且 A T =- A , B T = B ,则下列命题正确的是A. （ A + B ） T = A + B B. （ AB ） T =- AB C. A 2 是对称矩阵 D. B 2 +A 是对称阵
【单选题】设 A , B 为 n 阶方阵,且 A T =- A , B T = B ,则下列命题正确的是
A. （ A + B ） T = A + B
B. （ AB ） T =- AB
C. A 2 是对称矩阵
D. B 2 +A 是对称阵
A. （ A + B ） T = A + B
B. （ AB ） T =- AB
C. A 2 是对称矩阵
D. B 2 +A 是对称阵
题目解答
答案
B 2 +A 是对称阵
解析
步骤 1：理解矩阵的性质
矩阵 A 满足 A T = -A，说明 A 是反对称矩阵。矩阵 B 满足 B T = B，说明 B 是对称矩阵。
步骤 2：分析选项 A
（A + B） T = A T + B T = -A + B，不等于 A + B，因此选项 A 不正确。
步骤 3：分析选项 B
（AB） T = B T A T = BA，不等于 -AB，因此选项 B 不正确。
步骤 4：分析选项 C
A 2 = A A，因为 A 是反对称矩阵，所以 A 2 = A A = -A A = -A 2，这说明 A 2 不是对称矩阵，因此选项 C 不正确。
步骤 5：分析选项 D
B 2 + A = B B + A，因为 B 是对称矩阵，所以 B 2 = B B = B T B T = (B B) T = (B 2) T，因此 B 2 是对称矩阵。而 A 是反对称矩阵，所以 A T = -A。因此，(B 2 + A) T = (B 2) T + A T = B 2 - A = B 2 + A，所以 B 2 + A 是对称矩阵，因此选项 D 正确。
矩阵 A 满足 A T = -A，说明 A 是反对称矩阵。矩阵 B 满足 B T = B，说明 B 是对称矩阵。
步骤 2：分析选项 A
（A + B） T = A T + B T = -A + B，不等于 A + B，因此选项 A 不正确。
步骤 3：分析选项 B
（AB） T = B T A T = BA，不等于 -AB，因此选项 B 不正确。
步骤 4：分析选项 C
A 2 = A A，因为 A 是反对称矩阵，所以 A 2 = A A = -A A = -A 2，这说明 A 2 不是对称矩阵，因此选项 C 不正确。
步骤 5：分析选项 D
B 2 + A = B B + A，因为 B 是对称矩阵，所以 B 2 = B B = B T B T = (B B) T = (B 2) T，因此 B 2 是对称矩阵。而 A 是反对称矩阵，所以 A T = -A。因此，(B 2 + A) T = (B 2) T + A T = B 2 - A = B 2 + A，所以 B 2 + A 是对称矩阵，因此选项 D 正确。