4.下列式子正确的有( ).A. int(sqrt(x)-cos x)dx=(1)/(2sqrt(x))-sin x+CB. int(sqrt(x)-cos x)dx=(1)/(2sqrt(x))+sin x+CC. int(sqrt(x)-cos x)dx=(2)/(3)sqrt(x^3)-sin x+CD. int(sqrt(x)-cos x)dx=(2)/(3)sqrt(x^3)+sin x+C

本题考查不定积分的计算，解题思路是根据不定积分的基本运算法则和常见函数的积分公式来计算$\int(\sqrt{x}-\cos x)dx$。

步骤一：利用不定积分的性质拆分积分

根据不定积分的性质$\int [f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$，对$\int(\sqrt{x}-\cos x)dx$进行拆分可得：
$\int(\sqrt{x}-\cos x)dx = \int\sqrt{x}dx - \int\cos xdx$

步骤二：分别计算两个积分

• 计算$\int\sqrt{x}dx$：
  将$\sqrt{x}$转化为幂函数的形式，即$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$。
  根据幂函数的积分公式$\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$（$n\neq -1$），可得：
  $\int x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1}x^{\frac{1}{2} + 1} + C_1 = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C_1=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}} + C_1$
• 计算$\int\cos xdx$：
  根据常见函数的积分公式$\int\cos xdx = \sin x + C_2$。

步骤三：将两个积分结果相减

将$\int\sqrt{x}dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}} + C_1$和$\int\cos xdx = \sin x + C_2$代入$\int(\sqrt{x}-\cos x)dx = \int\sqrt{x}dx - \int\cos xdx$可得：
$\int(\sqrt{x}-\cos x)dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}} + C_1 - (\sin x + C_2)$
因为$C_1$和$C_2$都是常数，令$C = C_1 - C_2$，则：
$\int(\sqrt{x}-\cos x)dx = \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}} - \sin x + C$