题目
验证形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方程，并求其通解。
验证形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方程，并求其通解。
题目解答
答案
设v=xy，则
原式 <=> v/x * f(v) dx + x * g(v) ( dv - vdx / y ) / x=0
(两边乘以x) <=> (vf(v)-vg(v))dx+xg(v)dv=0
到这里两边再除以 x( vf(v) - vg(v) ) 就可以分离变量了。
通解的话，两边积分，x那项积成了lnx，v那项不能化简，保留原样，然后在右边添加常数C，就可以了。写起来麻烦，我就不写了。
原式 <=> v/x * f(v) dx + x * g(v) ( dv - vdx / y ) / x=0
(两边乘以x) <=> (vf(v)-vg(v))dx+xg(v)dv=0
到这里两边再除以 x( vf(v) - vg(v) ) 就可以分离变量了。
通解的话，两边积分，x那项积成了lnx，v那项不能化简，保留原样，然后在右边添加常数C，就可以了。写起来麻烦，我就不写了。
解析
步骤 1：变量代换
设 \( v = xy \)，则 \( y = \frac{v}{x} \)。对 \( v \) 关于 \( x \) 求导，得到 \( dv = ydx + xdy \)。
步骤 2：代入原方程
将 \( y = \frac{v}{x} \) 和 \( dv = ydx + xdy \) 代入原方程 \( yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0 \)。
原方程变为 \( \frac{v}{x}f(v)dx + xg(v)(\frac{dv - vdx}{x}) = 0 \)。
步骤 3：化简方程
化简得到 \( \frac{v}{x}f(v)dx + g(v)dv - g(v)vdx = 0 \)。
进一步化简得到 \( (vf(v) - vg(v))dx + xg(v)dv = 0 \)。
步骤 4：分离变量
将方程两边同时除以 \( x(vf(v) - vg(v)) \)，得到 \( \frac{dx}{x} + \frac{g(v)}{vf(v) - vg(v)}dv = 0 \)。
步骤 5：积分求解
对两边积分，得到 \( \int \frac{dx}{x} + \int \frac{g(v)}{vf(v) - vg(v)}dv = C \)。
步骤 6：通解
积分后得到 \( \ln|x| + \int \frac{g(v)}{vf(v) - vg(v)}dv = C \)。
设 \( v = xy \)，则 \( y = \frac{v}{x} \)。对 \( v \) 关于 \( x \) 求导，得到 \( dv = ydx + xdy \)。
步骤 2：代入原方程
将 \( y = \frac{v}{x} \) 和 \( dv = ydx + xdy \) 代入原方程 \( yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0 \)。
原方程变为 \( \frac{v}{x}f(v)dx + xg(v)(\frac{dv - vdx}{x}) = 0 \)。
步骤 3：化简方程
化简得到 \( \frac{v}{x}f(v)dx + g(v)dv - g(v)vdx = 0 \)。
进一步化简得到 \( (vf(v) - vg(v))dx + xg(v)dv = 0 \)。
步骤 4：分离变量
将方程两边同时除以 \( x(vf(v) - vg(v)) \)，得到 \( \frac{dx}{x} + \frac{g(v)}{vf(v) - vg(v)}dv = 0 \)。
步骤 5：积分求解
对两边积分，得到 \( \int \frac{dx}{x} + \int \frac{g(v)}{vf(v) - vg(v)}dv = C \)。
步骤 6：通解
积分后得到 \( \ln|x| + \int \frac{g(v)}{vf(v) - vg(v)}dv = C \)。