题目
6.分式有理化：(sqrt(x+2)-sqrt(3))/(x-1).(3分)
6.分式有理化：$\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3}}{x-1}$.(3分)
题目解答
答案
将分子有理化，乘以共轭表达式：
\[
\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3}}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{3}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{x+2})^2 - (\sqrt{3})^2}{(x-1)(\sqrt{x+2}+\sqrt{3})} = \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+2}+\sqrt{3})}
\]
消去公因子 $x-1$（$x \neq 1$）：
\[
\frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{3}}
\]
**答案：**
\[
\boxed{\frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{3}}}
\]
解析
分式有理化的核心是通过分子或分母的变形，消除根号，使分式更简洁。本题分子为$\sqrt{x+2} - \sqrt{3}$，属于根号差形式，需通过乘以共轭表达式进行有理化。关键在于：
- 共轭表达式的应用：分子分母同乘$\sqrt{x+2} + \sqrt{3}$，利用平方差公式展开；
- 约分简化：分子化简后与分母中的$x-1$约去，但需注意$x \neq 1$的条件。
步骤1：分子有理化
将分子$\sqrt{x+2} - \sqrt{3}$乘以共轭表达式$\sqrt{x+2} + \sqrt{3}$，分母同步乘以相同表达式：
$\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{3}}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{3}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{x+2})^2 - (\sqrt{3})^2}{(x-1)(\sqrt{x+2}+\sqrt{3})}$
步骤2：化简分子
利用平方差公式展开分子：
$(\sqrt{x+2})^2 - (\sqrt{3})^2 = (x+2) - 3 = x - 1$
步骤3：约分简化
分子$x-1$与分母中的$x-1$约去（注意$x \neq 1$）：
$\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+2}+\sqrt{3})} = \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{3}}$