题目
求定积分int_(-1)^1 ((xrm{dx))/(sqrt(5-4x)) }
求定积分
$\int_{-1}^{1} {\frac{x\rm{dx}}{\sqrt{5-4x}} }$
题目解答
答案
令$\mu=5-4x$，则$x=\frac{5-\mu}{4}$,$\rm{dx}=-\frac{1}{4}\rm{d\mu}$
所以，$\int_{-1}^{1} {\frac{x\rm{dx}}{\sqrt{5-4x}} }$$=-\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {\frac{5-\mu}{4\sqrt{\mu}} }\,{\rm d\mu}=-\frac{1}{16} \int_{1}^{9} {(\frac{5}{\sqrt{\mu}}-\sqrt{\mu} })\,{\rm d\mu}$$=-\frac{1}{16}(10\mu^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}\mu^{\frac{3}{2}})|^9_1=\frac{1}{6}$
解析
步骤 1：变量替换
令 $\mu = 5 - 4x$，则 $x = \frac{5 - \mu}{4}$，$\rm{dx} = -\frac{1}{4}\rm{d\mu}$。
步骤 2：代入并化简
将变量替换代入原积分，得到
$$\int_{-1}^{1} {\frac{x\rm{dx}}{\sqrt{5-4x}} } = -\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {\frac{5-\mu}{4\sqrt{\mu}} }\,{\rm d\mu} = -\frac{1}{16} \int_{1}^{9} {(\frac{5}{\sqrt{\mu}}-\sqrt{\mu} })\,{\rm d\mu}$$
步骤 3：计算积分
计算积分，得到
$$-\frac{1}{16}(10\mu^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}\mu^{\frac{3}{2}})|^9_1$$
步骤 4：代入上下限
代入上下限，得到
$$-\frac{1}{16}(10\cdot9^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}\cdot9^{\frac{3}{2}} - 10\cdot1^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}\cdot1^{\frac{3}{2}})$$
步骤 5：计算结果
计算结果，得到
$$-\frac{1}{16}(30 - 18 - 10 + \frac{2}{3}) = -\frac{1}{16}(-\frac{16}{3}) = \frac{1}{6}$$
令 $\mu = 5 - 4x$，则 $x = \frac{5 - \mu}{4}$，$\rm{dx} = -\frac{1}{4}\rm{d\mu}$。
步骤 2：代入并化简
将变量替换代入原积分，得到
$$\int_{-1}^{1} {\frac{x\rm{dx}}{\sqrt{5-4x}} } = -\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {\frac{5-\mu}{4\sqrt{\mu}} }\,{\rm d\mu} = -\frac{1}{16} \int_{1}^{9} {(\frac{5}{\sqrt{\mu}}-\sqrt{\mu} })\,{\rm d\mu}$$
步骤 3：计算积分
计算积分，得到
$$-\frac{1}{16}(10\mu^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}\mu^{\frac{3}{2}})|^9_1$$
步骤 4：代入上下限
代入上下限，得到
$$-\frac{1}{16}(10\cdot9^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}\cdot9^{\frac{3}{2}} - 10\cdot1^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}\cdot1^{\frac{3}{2}})$$
步骤 5：计算结果
计算结果，得到
$$-\frac{1}{16}(30 - 18 - 10 + \frac{2}{3}) = -\frac{1}{16}(-\frac{16}{3}) = \frac{1}{6}$$