题目
[题目]求微分方程 ^2y'=xy-(y)^2 的通解
题目解答
答案
解析
步骤 1：方程变形
原方程可以写为 $y' = \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2}$，这是一个伯努利方程。
步骤 2：变量代换
设 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = xu$，$y' = u + xu'$。代入原方程得 $u + xu' = u - u^2$，化简得 $xu' = -u^2$。
步骤 3：分离变量
将方程 $xu' = -u^2$ 分离变量，得 $\frac{du}{u^2} = -\frac{dx}{x}$。
步骤 4：积分
对两边积分，得 $\int \frac{du}{u^2} = -\int \frac{dx}{x}$，即 $-\frac{1}{u} = -\ln|x| + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 5：解出 $u$
解出 $u$ 得 $u = \frac{1}{\ln|x| - C}$。
步骤 6：回代 $u$
将 $u = \frac{y}{x}$ 回代，得 $\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln|x| - C}$，即 $y = \frac{x}{\ln|x| - C}$。
原方程可以写为 $y' = \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2}$，这是一个伯努利方程。
步骤 2：变量代换
设 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = xu$，$y' = u + xu'$。代入原方程得 $u + xu' = u - u^2$，化简得 $xu' = -u^2$。
步骤 3：分离变量
将方程 $xu' = -u^2$ 分离变量，得 $\frac{du}{u^2} = -\frac{dx}{x}$。
步骤 4：积分
对两边积分，得 $\int \frac{du}{u^2} = -\int \frac{dx}{x}$，即 $-\frac{1}{u} = -\ln|x| + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 5：解出 $u$
解出 $u$ 得 $u = \frac{1}{\ln|x| - C}$。
步骤 6：回代 $u$
将 $u = \frac{y}{x}$ 回代，得 $\frac{y}{x} = \frac{1}{\ln|x| - C}$，即 $y = \frac{x}{\ln|x| - C}$。