题目

3.[填空题]若lim_(ntoinfty)x_(n)=alpha，则lim_(ntoinfty)|x_(n)|=____.

3.[填空题]若$\lim_{n\to\infty}x_{n}=\alpha$，则$\lim_{n\to\infty}|x_{n}|=$____.

题目解答

答案

根据极限的定义，若 $\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$，则对于任意 $\epsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有 $|x_n - \alpha| < \epsilon$。 由绝对值不等式 $||x_n| - |\alpha|| \leq |x_n - \alpha|$，可得当 $n > N$ 时，$||x_n| - |\alpha|| < \epsilon$。 因此，$\lim_{n \to \infty} |x_n| = |\alpha|$。 **答案：** $\boxed{|\alpha|}$ **注：** 逆命题不成立，例如 $x_n = (-1)^n$，$\lim_{n \to \infty} |x_n| = 1$，但 $\{x_n\}$ 发散。

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的性质，特别是绝对值函数与极限的关系。
解题核心思路：利用绝对值的三角不等式，将$|x_n|$与$|\alpha|$的差与$x_n$与$\alpha$的差联系起来，结合极限的定义进行推导。
关键点：

  1. 绝对值函数的连续性：极限运算与绝对值符号可以交换顺序。
  2. 不等式关系：$||x_n| - |\alpha|| \leq |x_n - \alpha|$，这是推导的核心工具。

根据已知条件$\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha$，对于任意$\epsilon > 0$，存在正整数$N$，当$n > N$时，有：
$|x_n - \alpha| < \epsilon.$

关键步骤：

  1. 应用绝对值不等式：
    根据绝对值的三角不等式，对任意$n$，有：
    $||x_n| - |\alpha|| \leq |x_n - \alpha|.$

  2. 结合极限定义：
    当$n > N$时，由$|x_n - \alpha| < \epsilon$可得：
    $||x_n| - |\alpha|| < \epsilon.$

  3. 结论：
    根据极限的定义，$\lim_{n \to \infty} |x_n| = |\alpha|$。