题目
3 dydz+y^3dxdz+z^3dxdy,3 dydz+y^3dxdz+z^3dxdy为球面3 dydz+y^3dxdz+z^3dxdy内侧则3 dydz+y^3dxdz+z^3dxdy
,
为球面
内侧则
题目解答
答案
利用高斯公式得
令
则
∴
故选
解析
步骤 1：应用高斯公式
根据高斯公式，将给定的曲面积分转换为体积积分。对于给定的向量场 $\vec{F} = (0, y^3, z^3)$，其散度为 $\nabla \cdot \vec{F} = 0 + 3y^2 + 3z^2 = 3(y^2 + z^2)$。因此，原曲面积分可以表示为体积积分 $\iiint_{V} 3(y^2 + z^2) dV$，其中 $V$ 是球体 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1$ 的内部。
步骤 2：转换为球坐标系
为了计算体积积分，将直角坐标系转换为球坐标系。球坐标系的转换关系为 $x = r\sin\varphi\cos\theta$，$y = r\sin\varphi\sin\theta$，$z = r\cos\varphi$，其中 $r$ 是球体的半径，$\varphi$ 是极角，$\theta$ 是方位角。球体的体积元为 $dV = r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta$。
步骤 3：计算体积积分
将散度表达式 $3(y^2 + z^2)$ 转换为球坐标系下的表达式，即 $3(r^2\sin^2\varphi\sin^2\theta + r^2\cos^2\varphi)$。然后，将体积元 $dV = r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta$ 代入，得到体积积分为 $\iiint_{V} 3(r^2\sin^2\varphi\sin^2\theta + r^2\cos^2\varphi) r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta$。积分的范围为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \varphi \leq \pi$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
步骤 4：计算积分
将体积积分分解为三个独立的积分，即 $\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} \sin\varphi d\varphi \int_{0}^{1} 3r^4(\sin^2\varphi\sin^2\theta + \cos^2\varphi) dr$。首先计算 $r$ 的积分，得到 $\int_{0}^{1} 3r^4 dr = \frac{3}{5}r^5|_{0}^{1} = \frac{3}{5}$。然后计算 $\varphi$ 的积分，得到 $\int_{0}^{\pi} \sin\varphi d\varphi = -\cos\varphi|_{0}^{\pi} = 2$。最后计算 $\theta$ 的积分，得到 $\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$。将这三个积分的结果相乘，得到最终的体积积分为 $\frac{3}{5} \times 2 \times 2\pi = -\frac{12}{5}\pi$。
根据高斯公式，将给定的曲面积分转换为体积积分。对于给定的向量场 $\vec{F} = (0, y^3, z^3)$，其散度为 $\nabla \cdot \vec{F} = 0 + 3y^2 + 3z^2 = 3(y^2 + z^2)$。因此，原曲面积分可以表示为体积积分 $\iiint_{V} 3(y^2 + z^2) dV$，其中 $V$ 是球体 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1$ 的内部。
步骤 2：转换为球坐标系
为了计算体积积分，将直角坐标系转换为球坐标系。球坐标系的转换关系为 $x = r\sin\varphi\cos\theta$，$y = r\sin\varphi\sin\theta$，$z = r\cos\varphi$，其中 $r$ 是球体的半径，$\varphi$ 是极角，$\theta$ 是方位角。球体的体积元为 $dV = r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta$。
步骤 3：计算体积积分
将散度表达式 $3(y^2 + z^2)$ 转换为球坐标系下的表达式，即 $3(r^2\sin^2\varphi\sin^2\theta + r^2\cos^2\varphi)$。然后，将体积元 $dV = r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta$ 代入，得到体积积分为 $\iiint_{V} 3(r^2\sin^2\varphi\sin^2\theta + r^2\cos^2\varphi) r^2\sin\varphi dr d\varphi d\theta$。积分的范围为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \varphi \leq \pi$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
步骤 4：计算积分
将体积积分分解为三个独立的积分，即 $\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} \sin\varphi d\varphi \int_{0}^{1} 3r^4(\sin^2\varphi\sin^2\theta + \cos^2\varphi) dr$。首先计算 $r$ 的积分，得到 $\int_{0}^{1} 3r^4 dr = \frac{3}{5}r^5|_{0}^{1} = \frac{3}{5}$。然后计算 $\varphi$ 的积分，得到 $\int_{0}^{\pi} \sin\varphi d\varphi = -\cos\varphi|_{0}^{\pi} = 2$。最后计算 $\theta$ 的积分，得到 $\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$。将这三个积分的结果相乘，得到最终的体积积分为 $\frac{3}{5} \times 2 \times 2\pi = -\frac{12}{5}\pi$。