题目
2.设 (x)=x(x+1)(x+2)... (x+n), 则 '(0)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
给定函数 $f(x) = x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)$，这是一个多项式函数，其中 $x$ 与 $n+1$ 个连续整数相乘。
步骤 2：求导
为了求 $f'(x)$，我们使用乘积法则。乘积法则指出，如果 $f(x) = g(x)h(x)$，则 $f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$。对于 $f(x)$，我们可以将其视为 $n+1$ 个函数的乘积，每个函数都是 $x$ 加上一个常数。因此，$f'(x)$ 将是 $n+1$ 个项的和，每个项都是 $f(x)$ 除以其中一个因子，乘以该因子的导数（即1）。
步骤 3：计算 $f'(0)$
将 $x=0$ 代入 $f'(x)$，我们得到 $f'(0)$ 是 $n+1$ 个项的和，每个项都是 $0$ 乘以 $1$ 除以 $0$ 加上一个常数，即 $0$ 乘以 $1$ 除以 $1$，$0$ 乘以 $1$ 除以 $2$，...，$0$ 乘以 $1$ 除以 $n$。但是，由于 $f(x)$ 中的每个因子在 $x=0$ 时都变成了一个常数，所以 $f'(0)$ 实际上是 $n+1$ 个常数的乘积，即 $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$，这正是 $n!$ 的定义。
给定函数 $f(x) = x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)$，这是一个多项式函数，其中 $x$ 与 $n+1$ 个连续整数相乘。
步骤 2：求导
为了求 $f'(x)$，我们使用乘积法则。乘积法则指出，如果 $f(x) = g(x)h(x)$，则 $f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$。对于 $f(x)$，我们可以将其视为 $n+1$ 个函数的乘积，每个函数都是 $x$ 加上一个常数。因此，$f'(x)$ 将是 $n+1$ 个项的和，每个项都是 $f(x)$ 除以其中一个因子，乘以该因子的导数（即1）。
步骤 3：计算 $f'(0)$
将 $x=0$ 代入 $f'(x)$，我们得到 $f'(0)$ 是 $n+1$ 个项的和，每个项都是 $0$ 乘以 $1$ 除以 $0$ 加上一个常数，即 $0$ 乘以 $1$ 除以 $1$，$0$ 乘以 $1$ 除以 $2$，...，$0$ 乘以 $1$ 除以 $n$。但是，由于 $f(x)$ 中的每个因子在 $x=0$ 时都变成了一个常数，所以 $f'(0)$ 实际上是 $n+1$ 个常数的乘积，即 $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n$，这正是 $n!$ 的定义。