2.设 (x)=x(x+1)(x+2)... (x+n), 则 '(0)= __

考查要点：本题主要考查多项式函数在特定点的导数计算，特别是利用导数的定义或乘积法则进行简化求解的能力。

解题核心思路：

1. 观察函数结构：函数$f(x)$是$(n+1)$个线性因子的乘积，其中第一个因子为$x$，其余因子为$x+k$（$k=1,2,\dots,n$）。
2. 关键点分析：当$x=0$时，所有因子$x+k$的值为$k$，但第一个因子$x$为$0$，导致$f(0)=0$。此时直接应用乘积法则展开导数会非常繁琐，需寻找简化方式。
3. 核心方法：利用导数的定义或乘积法则的特殊性，发现只有第一个因子$x$的导数项在$x=0$时不为零，从而快速求解。

方法一：导数的定义
根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$
将$f(h) = h(h+1)(h+2)\cdots(h+n)$代入，得：
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{h(h+1)(h+2)\cdots(h+n)}{h} = \lim_{h \to 0} (h+1)(h+2)\cdots(h+n)$
当$h \to 0$时，极限值为：
$1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n = n!$

方法二：乘积法则的特殊性
函数$f(x)$由$(n+1)$个因子相乘构成，其导数为各因子导数与其余因子乘积之和：
$f'(x) = \sum_{k=0}^{n} \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [x+k] \right) \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq k}}^{n} (x+j)$
当$x=0$时，只有第一个因子$x$的导数项（即$k=0$）不为零，其余项因包含$x$而为零。此时：
$f'(0) = 1 \times 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n = n!$