47.（判断题，2.0分）离散型随机变量的分布函数是连续函数。A. 对B. 错

离散型随机变量的分布函数是否连续？
离散型随机变量的分布函数在定义上具有跳跃性，即在每个可能取值的点处会发生概率的突变。例如，若随机变量取值为$x_1, x_2, \dots$，则在每个$x_i$处，分布函数会出现一个跳跃间断点，导致函数整体不连续。因此，离散型随机变量的分布函数不可能是连续函数。

关键概念回顾

1. 分布函数$F(x)$定义为$P(X \leq x)$，描述随机变量$X$取值不超过$x$的概率。
2. 离散型随机变量的取值是有限个或可数无限个，每个取值点$x_i$对应概率$p_i = P(X = x_i)$。
3. 连续函数要求在定义域内每一点的极限值等于函数值，即无间断点。

分析过程

• 离散型随机变量的分布函数$F(x)$在每个取值点$x_i$处会发生跳跃，跳跃幅度为$p_i$。
• 例如，若$X$取值为$x_1 < x_2 < \dots$，则$F(x)$在$x_i$处的左极限为$F(x_i^-) = \sum_{j < i} p_j$，而$F(x_i) = \sum_{j \leq i} p_j$，两者不相等，说明在$x_i$处存在跳跃间断点。
• 因此，离散型随机变量的分布函数必然存在间断点，无法满足连续函数的条件。