题目

计算分子质量m1,m2,的两种理想气体,在相同温度下的麦克斯韦速率分布函数的峰值之比值m1,m2,。

计算分子质量 $m_1,m_2,$ 的两种理想气体,在相同温度下的麦克斯韦速率分布函数的峰值之比值 $\frac{f(v)\mid_{1\max}}{f(v)\mid_{2\max}}$ 。

题目解答

答案

麦克斯韦速率分布函数为 $f(v)=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$ ，其中 m 为分子质量， k 为玻尔兹曼常数， T 为温度。

速率分布函数的峰值出现在 $v=v_p$ 处，此时 f'(v) = 0 。

对 f(v) 求导并令其为 0 ，可得 $v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$ 。

将 $v_p$ 代入 f(v) 可得 $f(v)_{\max}=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}(\sqrt{\frac{2kT}{m}})^2e^{-1}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}(\frac{m}{2kT})^{\frac{3}{2}}\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\frac{4}{\sqrt{\pi}}(\frac{m}{2kT})^{\frac{1}{2}}$ 。

所以 $f(v)_{\max}\propto\sqrt{m}$ 。

答案： $\frac{f(v)\mid_{1\max}}{f(v)\mid_{2\max}}=\sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ .