题目
7.不定积分 int dfrac (arctan x)({x)^2(1+(x)^2)}dx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：分部积分法
我们首先使用分部积分法，将积分 $\int \dfrac {\arctan x}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}dx$ 分解为两个部分。设 $u = \arctan x$，$dv = \dfrac{1}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}dx$，则 $du = \dfrac{1}{1+{x}^{2}}dx$，$v = -\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$。
步骤 2：计算 $v$
计算 $v$ 的积分，即 $\int \dfrac{1}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}dx$。我们使用部分分式分解，将 $\dfrac{1}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}$ 分解为 $\dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x^2} + \dfrac{Cx + D}{1+x^2}$。通过比较系数，我们得到 $A = 0$，$B = -1$，$C = 0$，$D = \dfrac{1}{2}$。因此，$v = -\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$。
步骤 3：计算积分
根据分部积分法，我们有 $\int u dv = uv - \int v du$。将 $u$，$v$，$du$ 和 $dv$ 代入，得到 $\int \dfrac {\arctan x}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}dx = -\dfrac {\arctan x}{x} + \dfrac {1}{2}\ln \dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}} - \int \dfrac {1}{2}\ln \dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}} \cdot \dfrac{1}{1+{x}^{2}}dx$。最后，我们计算 $\int \dfrac {1}{2}\ln \dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}} \cdot \dfrac{1}{1+{x}^{2}}dx$，得到 $\dfrac {1}{2}{(\arctan x)}^{2}$。
我们首先使用分部积分法，将积分 $\int \dfrac {\arctan x}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}dx$ 分解为两个部分。设 $u = \arctan x$，$dv = \dfrac{1}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}dx$，则 $du = \dfrac{1}{1+{x}^{2}}dx$，$v = -\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$。
步骤 2：计算 $v$
计算 $v$ 的积分，即 $\int \dfrac{1}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}dx$。我们使用部分分式分解，将 $\dfrac{1}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}$ 分解为 $\dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x^2} + \dfrac{Cx + D}{1+x^2}$。通过比较系数，我们得到 $A = 0$，$B = -1$，$C = 0$，$D = \dfrac{1}{2}$。因此，$v = -\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$。
步骤 3：计算积分
根据分部积分法，我们有 $\int u dv = uv - \int v du$。将 $u$，$v$，$du$ 和 $dv$ 代入，得到 $\int \dfrac {\arctan x}{{x}^{2}(1+{x}^{2})}dx = -\dfrac {\arctan x}{x} + \dfrac {1}{2}\ln \dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}} - \int \dfrac {1}{2}\ln \dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}} \cdot \dfrac{1}{1+{x}^{2}}dx$。最后，我们计算 $\int \dfrac {1}{2}\ln \dfrac {{x}^{2}}{1+{x}^{2}} \cdot \dfrac{1}{1+{x}^{2}}dx$，得到 $\dfrac {1}{2}{(\arctan x)}^{2}$。