设 A_n = (0, (1)/(n))，n in N，则 lim_(n to infty) A_n = ( )A. (0, 1)B. (0, (1)/(n))C. 0D. emptyset

考查要点：本题主要考查集合的极限概念，特别是对开区间序列极限的理解。需要明确lim sup和lim inf的定义，并分析集合序列的交集与并集的变化趋势。

解题核心思路：

1. 观察区间的变化趋势：随着$n$增大，区间$A_n = (0, \frac{1}{n})$的右端点$\frac{1}{n}$趋近于$0$，区间长度逐渐缩小。
2. 分析交集与并集：
   • 无限交集：所有$A_n$的交集为空集，因为不存在正数$x$能同时属于所有$A_n$。
   • 极限定义：根据集合极限的定义，$\lim_{n \to \infty} A_n$需通过lim sup和lim inf判断，两者均为空集。
3. 排除干扰项：注意开区间不包含端点$0$，因此$\{0\}$（选项C）不成立。

关键步骤分析

步骤1：理解集合序列的变化

当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，区间$A_n$逐渐缩小为$(0, 0)$，但始终不包含$0$。

步骤2：分析无限交集

对于任意正数$x > 0$，存在$N$使得当$n > N$时，$\frac{1}{n} < x$，即$x \notin A_n$。因此，所有$A_n$的交集为$\emptyset$。

步骤3：应用集合极限定义

根据定义：
$\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty A_k$
由于每个$\bigcap_{k=n}^\infty A_k = \emptyset$，故极限为$\emptyset$。

步骤4：排除错误选项

• 选项A：$(0, 1)$是$A_1$，但后续区间越来越小，不可能是极限。
• 选项B：$(0, \frac{1}{n})$仍依赖于$n$，未取极限。
• 选项C：$\{0\}$不在任何$A_n$中，因区间为开区间。
• 选项D：通过分析无限交集为空集，正确。