题目
三阶方阵的三个特征值分别为1,-1,-3，则___。A.28B.-28C.56D.-56
三阶方阵
的三个特征值分别为1,-1,-3，则
___。
A.28
B.-28
C.56
D.-56
题目解答
答案
∵三阶方阵的三个特征值分别为1,-1,-3
∴矩阵多项式
的特征值为：
；
分别为：
；
；
；
行列式的值等于所有特征值的乘积：
；
故本题的答案是：D。
解析
步骤 1：确定矩阵多项式的特征值
给定三阶方阵的三个特征值分别为1, -1, -3。矩阵多项式${A}^{2}-2A-E$的特征值为${\lambda}^{2}-2\lambda-1$，其中$\lambda$是原矩阵的特征值。
步骤 2：计算矩阵多项式的特征值
将特征值1, -1, -3分别代入${\lambda}^{2}-2\lambda-1$中，得到：
- 对于$\lambda=1$，${1}^{2}-2\times 1-1=-2$；
- 对于$\lambda=-1$，${(-1)}^{2}-2\times (-1)-1=2$；
- 对于$\lambda=-3$，${(-3)}^{2}-2\times (-3)-1=14$。
步骤 3：计算行列式的值
行列式的值等于所有特征值的乘积，即$(-2)\times 2\times 14=-56$。
给定三阶方阵的三个特征值分别为1, -1, -3。矩阵多项式${A}^{2}-2A-E$的特征值为${\lambda}^{2}-2\lambda-1$，其中$\lambda$是原矩阵的特征值。
步骤 2：计算矩阵多项式的特征值
将特征值1, -1, -3分别代入${\lambda}^{2}-2\lambda-1$中，得到：
- 对于$\lambda=1$，${1}^{2}-2\times 1-1=-2$；
- 对于$\lambda=-1$，${(-1)}^{2}-2\times (-1)-1=2$；
- 对于$\lambda=-3$，${(-3)}^{2}-2\times (-3)-1=14$。
步骤 3：计算行列式的值
行列式的值等于所有特征值的乘积，即$(-2)\times 2\times 14=-56$。