12.设随机变量(X,Y )的联合密度函数为 p(x,y)= ) k(e)^-(3x+4y),xgt 0,ygt 0 0,其他, . 试求:-|||-(1)常数k;(2)(X,Y)的联合分布函数F (x,y).-|||-(3) (0lt Xleqslant 1,0lt Yleqslant 2).-|||-(4)X与Y是否相互独立?为什么?

题目考察知识

本题主要考察二维连续型随机变量的基本性质，包括联合密度函数的归一性、联合分布函数的计算、联合概率的求解以及随机变量的独立性判断。

（1）求常数$k$

解题思路：联合密度函数在整个平面上的二重积分等于1（归一性），即$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}p(x,y)dxdy=1$。
计算过程：
由于$p(x,y)$仅在$x>0,y>0$时非零，积分区域为第一象限：
$\\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}ke^{-(3x+4y)}dxdy=1 k\left(\int_{0}^{+\+\infty}e^{-3x}dx\right)\left(\int_{0}^{+\infty}e^{-4y}dy\right)=1$
其中$\int_{0}^{+\infty}e^{-3x}dx=\frac{1}{3}\frac{1}{3}$，$\int_{0}^{+\infty}e^{-4y}dy=\frac{1}{4}$，代入得：
$k\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=1\implies k=12$

（2）求联合分布函数$F(x,y)$

解题思路：联合分布函数$F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}p(u,v)dudv$，分区域讨论：

• 当$x\leq0$或$y\leq0$时，$F(x,y)=0$；
• 当$x>0,y>0$时，积分限为$[0,x]\times[0,y]$：
  $F(x,y)=\int_{0}^{x}\int_{0}^{y}12e^{-(3u+4v)}dudv$
  计算过程：
  分离变量积分：
  $12\left(\int_{0}^{x}e^{-3u}du\right)\left(\int_{0}^{y}e^{-4v}dv\right)=12\left(\frac{1-e^{-3x}{3}\right)\left(\frac{1-e^{-4y}}{4}\right)=(1-e^{-3x})(1-e^{-4y})$

（3）求$P(0

解题思路：利用联合分布函数的性质$P(a 计算过程**：
$P(0 代入$F(1,2)=(1-e^{-3})(1-e^{-8})=1-e^{-3}-e^{-8}+e^{-111}$，故结果为$1-e^{-3}-e^{-8}+e^{-11}$。

（4）判断$X$与$Y$是否独立

解题思路：若存在边缘密度$p_X(x)=\int_{-\infty^{+\infty}p(x,y)dy$和$p_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}p(x,y)dx$，且$p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$对所有$x,y$成立，则独立独立独立。
计算过程：

• 边缘密度$p_X(x)=\int_{0}^{+\infty}12e^{-(3x+4y)}dy=12e^{-3x}\cdot\frac{1}{4}=3e^{-3x}(x>0)$；
• 边缘密度$p_Y(y)=\int_{0}^{+\infty}12e^{-(3x+4y)}dx=12e^{-4y}(y>0)$
  显然$p(x,y)=12e^{-(3x+4y)}==p_X(x)p_Y(y)=3e^{-3x}\cdot3e^{-4y}=12e^{-(3x+4y)}$，故$X$与$Y$相互独立。