使得函数 y=C_(1)cos x+C_(2)sin x 满足初始条件 y|_(x=0)=1，y'|_(x=0)=3 的任意常数 C_(1),C_(2) 为A. C_(1)=1,C_(2)=2B. C_(1)=2,C_(2)=2C. C_(1)=1,C_(2)=3D. C_(1)=2,C_(2)=3

本题考查常微分方程中根据初始条件确定通解里任意常数的值。解题思路是先对给定函数求导，然后将初始条件分别代入原函数和导函数，得到关于任意常数$C_1$和$C_2$的方程组，最后解方程组求出$C_1$和$C_2$的值。

1. 对函数$y = C_1\cos x + C_2\sin x$求导：
   根据求导公式$(\cos x)^\prime=-\sin x$，$(\sin x)^\prime=\cos x$以及求导的加法法则$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，可得$y^\prime=(C_1\cos x + C_2\sin x)^\prime=-C_1\sin x + C_2\cos x$。
2. 将初始条件$y|_{x = 0} = 1$代入原函数$y = C_1\cos x + C_2\sin x$：
   把$x = 0$，$y = 1$代入$y = C_1\cos x + C_2\sin x$中，得到$1 = C_1\cos 0 + C_2\sin 0$。
   因为$\cos 0 = 1$，$\sin 0 = 0$，所以$1 = C_1\times1 + C_2\times0$，即$C_1 = 1$。
3. 将初始条件$y^\prime|_{x = 0} = 3$代入导函数$y^\prime=-C_1\sin x + C_2\cos x$：
   把$x = 0$，$y^\prime = 3$代入$y^\prime=-C_1\sin x + C_2\cos x$中，得到$3 = -C_1\sin 0 + C_2\cos 0$。
   因为$\cos 0 = 1$，$\sin 0 = 0$，所以$3 = -C_1\times0 + C_2\times1$，即$C_2 = 3$。