设某一工厂有 A, B, C 三间车间，它们生产同一种螺钉，各个车间的产量分别占该厂生产螺钉总产量的 25%, 35%, 40%, 各个车间生产的螺钉中次品的百分比分别为 5%, 4%, 2%. 如果从全厂总产品中抽取一件产品，(1) 求抽到的产品是次品的概率；(2) 已知得到的是次品，求它依次是车间 A, B, C 生产的概率。

我们来逐步解决这个概率问题。题目涉及全概率公式和贝叶斯公式。

已知条件整理：

设事件：

• $ A $：螺钉由车间 A 生产

• $ B $：螺钉由车间 B 生产

• $ C $：螺钉由车间 C 生产

• $ D $：抽到的产品是次品

各个车间的产量占比（即先验概率）：

• $ P(A) = 25\% = 0.25 $
• $ P(B) = 35\% = 0.35 $
• $ P(C) = 40\% = 0.40 $

各个车间生产的螺钉中次品率（即条件概率）：

• $ P(D|A) = 5\% = 0.05 $
• $ P(D|B) = 4\% = 0.04 $
• $ P(D|C) = 2\% = 0.02 $

(1) 求抽到的产品是次品的概率：

即求 $ P(D) $，使用全概率公式：

$P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C)$

代入数值：

$P(D) = (0.25)(0.05) + (0.35)(0.04) + (0.40)(0.02)$

逐项计算：

• $ 0.25 \times 0.05 = 0.0125 $
• $ 0.35 \times 0.04 = 0.014 $
• $ 0.40 \times 0.02 = 0.008 $

相加：

$P(D) = 0.0125 + 0.014 + 0.008 = 0.0345$

所以，抽到的产品是次品的概率是：

$\boxed{0.0345} \quad \text{（即 } 3.45\%\text{）}$

(2) 已知抽到的是次品，求它分别是由 A、B、C 车间生产的概率：

即求：

• $ P(A|D) $
• $ P(B|D) $
• $ P(C|D) $

使用贝叶斯公式：

$P(A|D) = \frac{P(A)P(D|A)}{P(D)}, \quad P(B|D) = \frac{P(B)P(D|B)}{P(D)}, \quad P(C|D) = \frac{P(C)P(D|C)}{P(D)}$

我们已经算出 $ P(D) = 0.0345 $

计算 $ P(A|D) $：

$P(A|D) = \frac{0.25 \times 0.05}{0.0345} = \frac{0.0125}{0.0345} \approx 0.3623$

计算 $ P(B|D) $：

$P(B|D) = \frac{0.35 \times 0.04}{0.0345} = \frac{0.014}{0.0345} \approx 0.4058$

计算 $ P(C|D) $：

$P(C|D) = \frac{0.40 \times 0.02}{0.0345} = \frac{0.008}{0.0345} \approx 0.2319$

验证：三个概率之和应接近 1：

$0.3623 + 0.4058 + 0.2319 = 0.9999 \approx 1 \quad \text{（合理，舍入误差）}$

最终答案：

(1) 抽到的产品是次品的概率为：

$\boxed{0.0345}$

(2) 已知是次品，它是由各车间生产的概率分别为：

• 来自车间 A 的概率：$ \boxed{0.3623} $（约 36.23%）
• 来自车间 B 的概率：$ \boxed{0.4058} $（约 40.58%）
• 来自车间 C 的概率：$ \boxed{0.2319} $（约 23.19%）

结论分析：

虽然 A 车间的次品率最高（5%），但产量最低（25%），所以次品中来自 A 的比例并不是最高；
B 车间产量和次品率居中，但综合贡献最大；
C 车间虽然产量最高（40%），但次品率最低（2%），所以贡献的次品比例反而最低。

最终，次品最可能来自 B 车间。