题目

(6)(1+2e^x/y)dx+2e^x/y(1-(x)/(y))dy=0.

(6)$(1+2e^{x/y})dx+2e^{x/y}(1-\frac{x}{y})dy=0.$

题目解答

答案

为了解微分方程 $(1+2e^{x/y})dx+2e^{x/y}(1-\frac{x}{y})dy=0$，我们将使用替换法。设 $u = \frac{x}{y}$。那么，$x = uy$，对 $x$ 关于 $y$ 求导，得到 $dx = u \, dy + y \, du$。将 $x = uy$ 和 $dx = u \, dy + y \, du$ 代入原方程，我们得到： \[ (1 + 2e^u)(u \, dy + y \, du) + 2e^u \left(1 - u\right) dy = 0. \] 展开左边，我们有： \[ (1 + 2e^u)u \, dy + (1 + 2e^u)y \, du + 2e^u \left(1 - u\right) dy = 0. \] 合并 $dy$ 项，我们得到： \[ \left[(1 + 2e^u)u + 2e^u (1 - u)\right] dy + (1 + 2e^u)y \, du = 0. \] 简化 $dy$ 的系数，我们有： \[ \left[u + 2e^u u + 2e^u - 2e^u u\right] dy + (1 + 2e^u)y \, du = 0, \] 这简化为： \[ (u + 2e^u) dy + (1 + 2e^u)y \, du = 0. \] 我们可以将方程重写为： \[ (u + 2e^u) \frac{dy}{y} + (1 + 2e^u) \, du = 0. \] 将项分开，我们得到： \[ \frac{dy}{y} + \frac{1 + 2e^u}{u + 2e^u} \, du = 0. \] 对两边积分，我们有： \[ \int \frac{dy}{y} + \int \frac{1 + 2e^u}{u + 2e^u} \, du = C. \] 第一个积分是： \[ \int \frac{dy}{y} = \ln|y| + C_1. \] 对于第二个积分，设 $v = u + 2e^u$。那么，$dv = (1 + 2e^u) \, du$，所以积分变为： \[ \int \frac{1 + 2e^u}{u + 2e^u} \, du = \int \frac{dv}{v} = \ln|v| + C_2 = \ln|u + 2e^u| + C_2. \] 结合这些结果，我们得到： \[ \ln|y| + \ln|u + 2e^u| = C, \] 其中 $C = C_1 + C_2$ 是一个常数。利用对数的性质，我们可以将左边合并为一个对数： \[ \ln|y(u + 2e^u)| = C. \] 对两边取指数，我们得到： \[ y(u + 2e^u) = e^C. \] 由于 $e^C$ 是一个常数，我们可以将其写为 $C$。将 $u = \frac{x}{y}$ 代回，我们得到： \[ y\left(\frac{x}{y} + 2e^{x/y}\right) = C. \] 简化左边，我们有： \[ x + 2ye^{x/y} = C. \] 因此，微分方程的解是： \[ \boxed{x + 2ye^{x/y} = C}. \]

解析

考查要点：本题主要考查微分方程的变量替换解法，特别是处理含有$\frac{x}{y}$形式的微分方程。关键在于通过适当的变量替换将方程转化为可分离变量的形式。

解题核心思路：

识别方程结构：观察到方程中的项均含有$e^{x/y}$，且$x/y$的组合形式提示使用替换$u = \frac{x}{y}$。
变量替换：通过设$u = \frac{x}{y}$，将原方程转化为关于$u$和$y$的方程。
分离变量与积分：化简后分离变量，分别对$y$和$u$积分，最终得到通解。

破题关键点：

替换选择：正确选择$u = \frac{x}{y}$简化方程结构。
代数化简：合并同类项后，方程需整理为$\frac{dy}{y}$与$du$的线性组合形式。
积分技巧：对$\int \frac{1 + 2e^u}{u + 2e^u} du$使用换元法，发现分子为分母的导数。

变量替换与方程转化

设$u = \frac{x}{y}$，则$x = uy$，对$y$求微分得：
$dx = u \, dy + y \, du.$
将$x = uy$和$dx = u \, dy + y \, du$代入原方程：
$\begin{aligned}(1 + 2e^u)(u \, dy + y \, du) + 2e^u (1 - u) dy &= 0, \\(1 + 2e^u)u \, dy + (1 + 2e^u)y \, du + 2e^u (1 - u) dy &= 0.\end{aligned}$

合并同类项

合并$dy$项：
$\left[ (1 + 2e^u)u + 2e^u (1 - u) \right] dy + (1 + 2e^u)y \, du = 0.$
化简$dy$的系数：
$u + 2e^u u + 2e^u - 2e^u u = u + 2e^u.$
方程简化为：
$(u + 2e^u) dy + (1 + 2e^u)y \, du = 0.$

分离变量与积分

将方程改写为：
$\frac{dy}{y} + \frac{1 + 2e^u}{u + 2e^u} du = 0.$
分别对$y$和$u$积分：
$\int \frac{dy}{y} + \int \frac{1 + 2e^u}{u + 2e^u} du = C.$
第一个积分结果为$\ln|y|$。第二个积分通过换元$v = u + 2e^u$，得：
$\int \frac{dv}{v} = \ln|v| = \ln|u + 2e^u|.$

回代与整理

合并积分结果：
$\ln|y| + \ln|u + 2e^u| = C \implies y(u + 2e^u) = e^C.$
将$u = \frac{x}{y}$代回，整理得通解：
$x + 2ye^{x/y} = C.$