题目
用数列极限定义证明:-|||-如果 lim (x)_(2k)=a, lim _(karrow infty )(x)_(2k+1)=a, 则 lim (x)_(n)=a.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义数列极限
数列极限的定义是：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|x_n - a| < \varepsilon$。这里 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限。
步骤 2：应用数列极限定义
根据题目条件，我们知道 $\lim_{k \to \infty} x_{2k} = a$ 和 $\lim_{k \to \infty} x_{2k+1} = a$。这意味着对于任意给定的正数 $\varepsilon$，存在正整数 $K_1$ 和 $K_2$，使得当 $k > K_1$ 时，有 $|x_{2k} - a| < \varepsilon$，当 $k > K_2$ 时，有 $|x_{2k+1} - a| < \varepsilon$。
步骤 3：构造合适的 $N$
为了证明 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，我们需要找到一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|x_n - a| < \varepsilon$。取 $N = \max\{2K_1 - 1, 2K_2\}$。这样，当 $n > N$ 时，$n$ 要么是偶数，要么是奇数。如果 $n$ 是偶数，那么 $n = 2k$，且 $k > K_1$，因此 $|x_n - a| = |x_{2k} - a| < \varepsilon$。如果 $n$ 是奇数，那么 $n = 2k + 1$，且 $k > K_2$，因此 $|x_n - a| = |x_{2k+1} - a| < \varepsilon$。因此，无论 $n$ 是偶数还是奇数，当 $n > N$ 时，都有 $|x_n - a| < \varepsilon$。
数列极限的定义是：对于任意给定的正数 $\varepsilon$，存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|x_n - a| < \varepsilon$。这里 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限。
步骤 2：应用数列极限定义
根据题目条件，我们知道 $\lim_{k \to \infty} x_{2k} = a$ 和 $\lim_{k \to \infty} x_{2k+1} = a$。这意味着对于任意给定的正数 $\varepsilon$，存在正整数 $K_1$ 和 $K_2$，使得当 $k > K_1$ 时，有 $|x_{2k} - a| < \varepsilon$，当 $k > K_2$ 时，有 $|x_{2k+1} - a| < \varepsilon$。
步骤 3：构造合适的 $N$
为了证明 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$，我们需要找到一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|x_n - a| < \varepsilon$。取 $N = \max\{2K_1 - 1, 2K_2\}$。这样，当 $n > N$ 时，$n$ 要么是偶数，要么是奇数。如果 $n$ 是偶数，那么 $n = 2k$，且 $k > K_1$，因此 $|x_n - a| = |x_{2k} - a| < \varepsilon$。如果 $n$ 是奇数，那么 $n = 2k + 1$，且 $k > K_2$，因此 $|x_n - a| = |x_{2k+1} - a| < \varepsilon$。因此，无论 $n$ 是偶数还是奇数，当 $n > N$ 时，都有 $|x_n - a| < \varepsilon$。