题目
7.求下列简单有理函数的不定积分:-|||-(1) int dfrac (2x+1)({x)^2-2x+2}dx ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：分解被积函数
将被积函数 $\dfrac {2x+1}{{x}^{2}-2x+2}$ 分解为两部分，其中一部分是 $\dfrac{2x-2}{{x}^{2}-2x+2}$，另一部分是 $\dfrac{3}{{x}^{2}-2x+2}$。这样做的目的是为了将原积分分解为两个更简单的积分。
步骤 2：计算第一个积分
计算 $\int \dfrac{2x-2}{{x}^{2}-2x+2}dx$。由于分子是分母的导数，所以这个积分可以表示为 $\ln |{x}^{2}-2x+2|$。
步骤 3：计算第二个积分
计算 $\int \dfrac{3}{{x}^{2}-2x+2}dx$。首先，将分母写成完全平方形式，即 ${x}^{2}-2x+2 = {(x-1)}^{2}+1$。然后，将积分写成 $\int \dfrac{3}{{(x-1)}^{2}+1}dx$。这个积分可以表示为 $3\arctan(x-1)$。
步骤 4：合并结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果合并，得到最终答案。
将被积函数 $\dfrac {2x+1}{{x}^{2}-2x+2}$ 分解为两部分，其中一部分是 $\dfrac{2x-2}{{x}^{2}-2x+2}$，另一部分是 $\dfrac{3}{{x}^{2}-2x+2}$。这样做的目的是为了将原积分分解为两个更简单的积分。
步骤 2：计算第一个积分
计算 $\int \dfrac{2x-2}{{x}^{2}-2x+2}dx$。由于分子是分母的导数，所以这个积分可以表示为 $\ln |{x}^{2}-2x+2|$。
步骤 3：计算第二个积分
计算 $\int \dfrac{3}{{x}^{2}-2x+2}dx$。首先，将分母写成完全平方形式，即 ${x}^{2}-2x+2 = {(x-1)}^{2}+1$。然后，将积分写成 $\int \dfrac{3}{{(x-1)}^{2}+1}dx$。这个积分可以表示为 $3\arctan(x-1)$。
步骤 4：合并结果
将步骤 2 和步骤 3 的结果合并，得到最终答案。