题目
27. (8.0分) 求函数f(x,y)=4(x-y)-x^2-y^2的极值.
27. (8.0分) 求函数$f(x,y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$的极值.
题目解答
答案
求一阶偏导数并令其为零：
\[
\begin{cases}
f_x = 4 - 2x = 0 \implies x = 2 \\
f_y = -4 - 2y = 0 \implies y = -2
\end{cases}
\]
得驻点 $(2, -2)$。
求二阶偏导数：
\[
f_{xx} = -2, \quad f_{xy} = 0, \quad f_{yy} = -2
\]
计算判别式：
\[
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2)(-2) - 0^2 = 4 > 0
\]
且 $f_{xx} = -2 < 0$，故在 $(2, -2)$ 处有极大值。
计算极大值：
\[
f(2, -2) = 4(2 + 2) - 2^2 - (-2)^2 = 16 - 8 = 8
\]
**答案：**
极大值点：$(2, -2)$
极大值：$8$
解析
步骤 1：求一阶偏导数并令其为零
对函数$f(x,y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$，分别对$x$和$y$求偏导数，并令其等于零，得到驻点。
\[ \begin{cases} f_x = 4 - 2x = 0 \implies x = 2 \\ f_y = -4 - 2y = 0 \implies y = -2 \end{cases} \]
步骤 2：求二阶偏导数
对函数$f(x,y)$求二阶偏导数，得到$f_{xx}$，$f_{xy}$和$f_{yy}$。
\[ f_{xx} = -2, \quad f_{xy} = 0, \quad f_{yy} = -2 \]
步骤 3：计算判别式
根据二阶偏导数，计算判别式$D$。
\[ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2)(-2) - 0^2 = 4 > 0 \]
步骤 4：判断极值点
由于$D > 0$且$f_{xx} < 0$，故在$(2, -2)$处有极大值。
步骤 5：计算极大值
将驻点$(2, -2)$代入原函数$f(x,y)$，计算极大值。
\[ f(2, -2) = 4(2 + 2) - 2^2 - (-2)^2 = 16 - 8 = 8 \]
对函数$f(x,y)=4(x-y)-x^{2}-y^{2}$，分别对$x$和$y$求偏导数，并令其等于零，得到驻点。
\[ \begin{cases} f_x = 4 - 2x = 0 \implies x = 2 \\ f_y = -4 - 2y = 0 \implies y = -2 \end{cases} \]
步骤 2：求二阶偏导数
对函数$f(x,y)$求二阶偏导数，得到$f_{xx}$，$f_{xy}$和$f_{yy}$。
\[ f_{xx} = -2, \quad f_{xy} = 0, \quad f_{yy} = -2 \]
步骤 3：计算判别式
根据二阶偏导数，计算判别式$D$。
\[ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2)(-2) - 0^2 = 4 > 0 \]
步骤 4：判断极值点
由于$D > 0$且$f_{xx} < 0$，故在$(2, -2)$处有极大值。
步骤 5：计算极大值
将驻点$(2, -2)$代入原函数$f(x,y)$，计算极大值。
\[ f(2, -2) = 4(2 + 2) - 2^2 - (-2)^2 = 16 - 8 = 8 \]