题目
14、填空 若区域D为0≤y≤x²,|x|≤2,则iintlimits_(D)xy^2dxdy=_____.
14、填空 若区域D为0≤y≤x²,|x|≤2,则
$\iint\limits_{D}xy^{2}dxdy=$_____.
题目解答
答案
区域 $D$ 由 $0 \leq y \leq x^2$ 和 $|x| \leq 2$ 定义。将二重积分转换为迭代积分：
\[
\iint\limits_{D} xy^2 \, dxdy = \int_{-2}^{2} \int_{0}^{x^2} xy^2 \, dy \, dx
\]
先对 $y$ 积分：
\[
\int_{0}^{x^2} xy^2 \, dy = x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{x^2} = \frac{x^7}{3}
\]
再对 $x$ 积分：
\[
\int_{-2}^{2} \frac{x^7}{3} \, dx = 0 \quad \text{(奇函数在对称区间积分为0)}
\]
或转换积分顺序，先对 $x$ 积分：
\[
\int_{0}^{4} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} xy^2 \, dx \, dy = \int_{0}^{4} y^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \, dy = \int_{0}^{4} 0 \, dy = 0
\]
**答案：** $\boxed{0}$
解析
步骤 1：确定积分区域
区域 $D$ 由 $0 \leq y \leq x^2$ 和 $|x| \leq 2$ 定义。这意味着 $x$ 的范围是 $[-2, 2]$，而 $y$ 的范围是 $[0, x^2]$。
步骤 2：将二重积分转换为迭代积分
将二重积分转换为迭代积分： \[ \iint\limits_{D} xy^2 \, dxdy = \int_{-2}^{2} \int_{0}^{x^2} xy^2 \, dy \, dx \]
步骤 3：先对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分： \[ \int_{0}^{x^2} xy^2 \, dy = x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{x^2} = \frac{x^7}{3} \]
步骤 4：再对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分： \[ \int_{-2}^{2} \frac{x^7}{3} \, dx = 0 \quad \text{(奇函数在对称区间积分为0)} \]
步骤 5：转换积分顺序
或转换积分顺序，先对 $x$ 积分： \[ \int_{0}^{4} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} xy^2 \, dx \, dy = \int_{0}^{4} y^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \, dy = \int_{0}^{4} 0 \, dy = 0 \]
区域 $D$ 由 $0 \leq y \leq x^2$ 和 $|x| \leq 2$ 定义。这意味着 $x$ 的范围是 $[-2, 2]$，而 $y$ 的范围是 $[0, x^2]$。
步骤 2：将二重积分转换为迭代积分
将二重积分转换为迭代积分： \[ \iint\limits_{D} xy^2 \, dxdy = \int_{-2}^{2} \int_{0}^{x^2} xy^2 \, dy \, dx \]
步骤 3：先对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分： \[ \int_{0}^{x^2} xy^2 \, dy = x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{x^2} = \frac{x^7}{3} \]
步骤 4：再对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分： \[ \int_{-2}^{2} \frac{x^7}{3} \, dx = 0 \quad \text{(奇函数在对称区间积分为0)} \]
步骤 5：转换积分顺序
或转换积分顺序，先对 $x$ 积分： \[ \int_{0}^{4} \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} xy^2 \, dx \, dy = \int_{0}^{4} y^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \, dy = \int_{0}^{4} 0 \, dy = 0 \]