4.计算下列定积分:-|||-(3) (int )_(0)^a(x)^2sqrt ({a)^2-(x)^2}dx(agt 0) :

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是利用三角替换法处理根号形式的积分，以及通过三角恒等式简化被积函数的能力。

解题核心思路：

1. 变量替换：令 $x = a \sin t$，将根号 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 转化为 $a \cos t$，简化积分表达式。
2. 三角恒等式：将 $\sin^2 t \cos^2 t$ 转换为倍角形式 $(1 - \cos 4t)/8$，便于积分。
3. 定积分计算：正确代入上下限并化简，最终得到结果。

破题关键点：

• 选择合适的三角替换，明确变量替换后的积分区间。
• 灵活应用三角恒等式，将复杂乘积转化为简单表达式。
• 注意积分区间的转换，避免因替换错误导致结果偏差。

变量替换与积分转换

令 $x = a \sin t$，则 $dx = a \cos t \, dt$。当 $x$ 从 $0$ 变化到 $a$ 时，$t$ 从 $0$ 变化到 $\dfrac{\pi}{2}$。原积分变为：
$\begin{aligned}\int_{0}^{a} x^2 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (a \sin t)^2 \cdot \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 t} \cdot a \cos t \, dt \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a^4 \sin^2 t \cos^2 t \, dt.\end{aligned}$

应用三角恒等式

利用恒等式 $\sin^2 t \cos^2 t = \dfrac{1}{8}(1 - \cos 4t)$，积分化简为：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a^4 \sin^2 t \cos^2 t \, dt = \dfrac{a^4}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 4t) \, dt.$

积分计算

分项积分：
$\begin{aligned}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 4t) \, dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 4t \, dt \\&= \left[ t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \left[ \dfrac{\sin 4t}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\&= \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{4} \left( \sin 2\pi - \sin 0 \right) \\&= \dfrac{\pi}{2}.\end{aligned}$

最终结果

代入化简得：
$\dfrac{a^4}{8} \cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{16} a^4.$