题目

求曲线=(t)_(2), =2t, =dfrac (1)(2)(t)^2在对应于=(t)_(2), =2t, =dfrac (1)(2)(t)^2点的切线方程和法平面方程.

求曲线 $x=t,y=2t,z=\frac{1}{2}t^2$ 在对应于 $t_0=1$ 点的切线方程和法平面方程.

题目解答

答案

解：因为曲线 $x=t,y=2t,z=\frac{1}{2}t^2$ ，则

$x'=1,y'=2,z'=t$

所以切线在 $t_0=1$ 点的切向量为 $\vec{T}=\left(1,2,1\right)$

在 $t_0=1$ 点，得 $x=1,y=2,z=\frac{1}{2}$

所以切线方程为

$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-\frac{1}{2}}{1}$

法平面方程为 $x-1+2\left(y-2\right)+\left(z-\frac{1}{2}\right)=0$

即 $2x+4y+2z-11=0$

解析

步骤 1：求导数
对给定的曲线方程$c={t}_{2}$, y=2t $z=\dfrac {1}{2}{t}^{2}$，分别对t求导，得到切向量的分量。
步骤 2：计算切向量
在t=1时，计算切向量的分量，得到切向量。
步骤 3：求切线方程
利用切向量和t=1时的点坐标，写出切线方程。
步骤 4：求法平面方程
利用切向量和t=1时的点坐标，写出法平面方程。