题目

练习1 已知A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，若r(A)=n，证明ABx=0与Bx=0同解.

练习1 已知A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，若r(A)=n，证明$ABx=0$与$Bx=0$同解.

题目解答

答案

设 $\alpha$ 为任意向量。 1. **若 $\alpha$ 是 $Bx = 0$ 的解**，则 $B\alpha = 0$，从而 $AB\alpha = A(B\alpha) = A0 = 0$，即 $\alpha$ 是 $ABx = 0$ 的解。 2. **若 $\alpha$ 是 $ABx = 0$ 的解**，则 $AB\alpha = 0$，即 $A(B\alpha) = 0$。由于 $\text{rank}(A) = n$，方程组 $Ax = 0$ 只有零解，故 $B\alpha = 0$，即 $\alpha$ 是 $Bx = 0$ 的解。 因此，$ABx = 0$ 与 $Bx = 0$ 的解集相同，即两方程组同解。 \[ \boxed{ABx = 0 \text{ 与 } Bx = 0 \text{ 同解}} \]

解析

考查要点：本题主要考查矩阵的秩与齐次线性方程组解的关系，以及矩阵乘法对解空间的影响。

解题核心思路：

  1. 同解证明的双向性：需证明两个方程组的解集互相包含。
  2. 秩的条件应用：利用矩阵$A$的秩$r(A)=n$，得出$A$的零空间仅含零向量，从而建立$ABx=0$与$Bx=0$之间的必然联系。

破题关键点：

  • 方向一：若$x$是$Bx=0$的解，则显然$ABx=0$成立。
  • 方向二：若$x$是$ABx=0$的解，需通过$A$的秩推导出$Bx=0$必须成立。

证明步骤：

方向一：$Bx=0$的解是$ABx=0$的解

设$\alpha$是$Bx=0$的解，则$B\alpha=0$。
两边左乘矩阵$A$，得$AB\alpha = A \cdot 0 = 0$，即$\alpha$是$ABx=0$的解。
因此，$Bx=0$的解集是$ABx=0$解集的子集。

方向二：$ABx=0$的解是$Bx=0$的解

设$\alpha$是$ABx=0$的解，则$AB\alpha=0$，即$A(B\alpha)=0$。
由于$r(A)=n$，矩阵$A$的列向量线性无关，其零空间仅含零向量。
因此，$B\alpha$必须满足$B\alpha=0$，即$\alpha$是$Bx=0$的解。
因此，$ABx=0$的解集是$Bx=0$解集的子集。

结论：两个方程组的解集互相包含，故同解。