一个带电量为q的点电荷，被放置在内、外半径分别为r_1和r_2的原不带电导体球壳的空腔内、离球心距离为a的P点(a> r_1)，如图练67。求：r q`-|||-q```-|||-0-|||-a p-|||-r2-|||-k b(1)作用在点电荷q上的电力。(2)如果导体球壳是孤立、不带电的，其电势多大？(3)点电荷q的电势能，以及整个带电系统的电势能。

(1)可以用电像法来等效点电荷$$q$$在球形空腔内壁产生感应电荷，两者在腔内形成电场。等效地可以认为这个电场是由$$q$$及其两个像电荷$$q'=-{r_1\over a} q$$和$$q''=-q-q'=({r_1\over a}-1 ) q$$共同在腔内产生的电场，其中$$q'$$位于离球心$$O$$的距离为$$b={r_1^2\over a} $$处，$$q''$$位于球心$$O$$处。$$q'$$等效于内壁上不均匀分布的那部分电荷，$$q''$$等效于内壁上均匀分布的那部分电荷。所以腔内点电荷受到静电力，可以等效于像电荷$$q'$$对$$q$$的作用力，以$$P$$点指向$$O$$点为正向，这个力$$F={qq'\over 4\pi ε_0(b-a)^2 } ={-{q^2r_1\over a} \over 4\pi ε_0({r_1^2\over a} -a) ^2} =-{ar_1q^2\over 4\pi ε_0(r_1^2-a^2) } $$①

(2)因静电感应，导体球壳外表面产生的感应电荷量为$$q$$，且均匀分布。由于内、外电场互不影响，在选择$$r=\infty $$处电势取为零时，球壳外($$r>r_2$$)电势分布为$$U_外={q\over 4\pi ε_0r} $$

当时$$r=r_2$$，得导体球壳电势为$$U_球={q\over 4\pi ε_0r_2} $$②

因导体球壳为一等势体，所以球壳上任一点电势均为此值。

(3)点电荷$$q$$的电势能等于电量$$q$$与点电荷$$q$$处的电势的乘积，即$$W(q) =qU(q) $$

利用球内电场，求$$q$$处的电势。前面已经分析，内、外电场互不相干，相互独立；球内电场由三部分电荷形成，即点电荷$$q$$及其两个像电荷$$q'$$、$$q''$$共同激发形成。所以点电荷$$q$$处的电势$$[U'(q) ] $$是由两个像电荷$$q'$$和$$q''$$形成的电势，即$$U'(q) =U_q'+U_q''={q'\over 4\pi ε_0(b-a) } +{q''\over 4\pi ε_0r_1} $$③

其中由球心处像电荷$$q''$$产生的电势$$U_q'={q''\over 4\pi ε_0r_1} $$，它是导体空腔壁均匀分布的$$q''$$产生的整个空腔及其腔内壁等值的电势。$$q$$处的电势$$[U'(q) ] $$是把腔内(含腔壁)电势$$U_q''$$作为基点的标值。考虑到腔内、外两个电场，当作为整体系统写出电势分布时，腔内、外电场衔接点的导体球壳，必须考虑到其电势的单值性。当仍然把无限远处电势取为零点作为基点时，导体球壳的电势应取$$U_球$$所以腔内$$q$$处的电势，应写成$$U(q) ={q'\over 4\pi ε_0(b-a) } +U_球$$④

即$$q$$处的电势不要写成式③的$$U'$$，而要写成式④的$$U$$。代入$$q'$$、$$b$$和$$U_球$$，得$$U(q) =-{{r_1q\over a} \over {4\pi ε_0\over a}(r_1^2-a^2) } +{q\over 4\pi ε_0r_2} ={q\over 4\pi ε_0}({1\over r_2}-{r_1\over r_1^2-a^2} ) $$

因此$$q$$的电势能为$$W(q) ={q^2\over 4\pi ε_0} ({1\over r^2} -{r_1\over r_1^2-a^2} ) $$

本题整个系统的静电势能为$$W={1\over 2} [ qU(q) +Q_球U_球]={1\over 2} qU(q) ={q^2\over 8\pi ε_0} ({1\over r^2}-{r_1\over r_1^2-a} ) $$

其中已利用导体球壳原不带电，即$$Q_球=0$$。