在yOz面上, 求与三点A(3, 1, 2)、B(4, -2, -2)和C(0, 5, 1)等距离的点。
在$$yOz$$面上, 求与三点$$A(3, 1, 2)$$、$$B(4, -2, -2)$$和$$C(0, 5, 1)$$等距离的点。
题目解答
答案
设所求的点为$$P(0, y, z)$$与$$A、B、C$$等距离, 则:
$$|\overrightarrow{PA} |^2=3^2+(y-1)^2+(z-2)^2$$
$$|\overrightarrow{PB} |^2=4^2+(y+2)^2+(z+2)^2$$
$$|\overrightarrow{PC} |=(y-5)^2+(z-1)^2$$
由题意, 有:
$$|\overrightarrow{PA} |^2=|\overrightarrow{PB} |^2=|\overrightarrow{PC} |^2$$,
即:$$3^2+(y-1)^2+(z-2)^2=(y-5)^2+(z-1)^2$$和$$4^2+(y+2)^2+(z+2)^2=(y-5)^2+(z-1)^2$$
解得$$y=1, z=-2$$, 故所求点为$$(0, 1, -2)$$。
解析
考查要点：本题主要考查空间直角坐标系中点的坐标特征及空间距离公式的应用，同时涉及解二元一次方程组的能力。
解题核心思路：
- 确定点的位置：由于点$P$在$yOz$平面上，其$x$坐标为$0$，即$P(0, y, z)$。
- 建立距离方程：利用空间两点间距离公式，分别写出$P$到$A$、$B$、$C$的距离平方，并根据等距离条件列出方程。
- 解方程组：通过联立方程消元求解$y$和$z$的值。
破题关键点：
- 坐标特征：明确$yOz$平面上点的$x$坐标为$0$。
- 距离公式：正确展开并简化距离平方的表达式，避免计算错误。
- 方程联立：通过消元法解二元一次方程组，确保代数运算的准确性。
设所求点为$P(0, y, z)$，根据题意，$P$到$A$、$B$、$C$的距离相等。
计算各距离平方
- $|\overrightarrow{PA}|^2$：
$3^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 9 + (y-1)^2 + (z-2)^2$ - $|\overrightarrow{PB}|^2$：
$4^2 + (y+2)^2 + (z+2)^2 = 16 + (y+2)^2 + (z+2)^2$ - $|\overrightarrow{PC}|^2$：
$(y-5)^2 + (z-1)^2$
建立方程
根据等距离条件：
-
$|\overrightarrow{PA}|^2 = |\overrightarrow{PC}|^2$：
$9 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = (y-5)^2 + (z-1)^2$
展开并化简得：
$4y - z = 6 \quad \text{(方程1)}$ -
$|\overrightarrow{PB}|^2 = |\overrightarrow{PC}|^2$：
$16 + (y+2)^2 + (z+2)^2 = (y-5)^2 + (z-1)^2$
展开并化简得：
$7y + 3z = 1 \quad \text{(方程2)}$
解方程组
- 由方程1得：$z = 4y - 6$
- 将$z = 4y - 6$代入方程2：
$7y + 3(4y - 6) = 1 \implies 19y = 19 \implies y = 1$ - 代入$z = 4(1) - 6$得：$z = -2$
结论：所求点为$P(0, 1, -2)$。