题目
(3)(2019304)已知方程 ^5-5x+k=0 有3个不同的实根,则k的取值范围是() ()-|||-A. (-infty ,-4) B. (4,+infty ) C. [ -4,4] D. (-4,4)
题目解答
答案
令
f(-1)=5-1+k>0.f(1)=1-5+k<0
-4<k<4
答案选D
解析
步骤 1：求导数
首先，我们对函数 $f(x) = x^5 - 5x + k$ 求导，得到 $f'(x) = 5x^4 - 5$。这一步是为了找到函数的极值点，从而确定函数的单调性。
步骤 2：分析导数的符号
我们观察导数 $f'(x) = 5(x^4 - 1) = 5(x^2 + 1)(x^2 - 1)$。由于 $x^2 + 1$ 总是正的，导数的符号取决于 $x^2 - 1$ 的符号。因此，当 $x < -1$ 或 $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$，函数是增函数；当 $-1 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$，函数是减函数。
步骤 3：确定极值点
根据导数的符号，我们可以确定 $x = -1$ 和 $x = 1$ 是函数的极值点。在 $x = -1$ 处，函数达到局部最大值；在 $x = 1$ 处，函数达到局部最小值。
步骤 4：计算极值
计算 $f(-1)$ 和 $f(1)$ 的值，得到 $f(-1) = (-1)^5 - 5(-1) + k = 4 + k$ 和 $f(1) = 1^5 - 5(1) + k = -4 + k$。为了使方程有三个不同的实根，$f(-1)$ 必须大于0，$f(1)$ 必须小于0，即 $4 + k > 0$ 和 $-4 + k < 0$。
步骤 5：求解不等式
解不等式 $4 + k > 0$ 和 $-4 + k < 0$，得到 $k > -4$ 和 $k < 4$。因此，$k$ 的取值范围是 $-4 < k < 4$。
首先，我们对函数 $f(x) = x^5 - 5x + k$ 求导，得到 $f'(x) = 5x^4 - 5$。这一步是为了找到函数的极值点，从而确定函数的单调性。
步骤 2：分析导数的符号
我们观察导数 $f'(x) = 5(x^4 - 1) = 5(x^2 + 1)(x^2 - 1)$。由于 $x^2 + 1$ 总是正的，导数的符号取决于 $x^2 - 1$ 的符号。因此，当 $x < -1$ 或 $x > 1$ 时，$f'(x) > 0$，函数是增函数；当 $-1 < x < 1$ 时，$f'(x) < 0$，函数是减函数。
步骤 3：确定极值点
根据导数的符号，我们可以确定 $x = -1$ 和 $x = 1$ 是函数的极值点。在 $x = -1$ 处，函数达到局部最大值；在 $x = 1$ 处，函数达到局部最小值。
步骤 4：计算极值
计算 $f(-1)$ 和 $f(1)$ 的值，得到 $f(-1) = (-1)^5 - 5(-1) + k = 4 + k$ 和 $f(1) = 1^5 - 5(1) + k = -4 + k$。为了使方程有三个不同的实根，$f(-1)$ 必须大于0，$f(1)$ 必须小于0，即 $4 + k > 0$ 和 $-4 + k < 0$。
步骤 5：求解不等式
解不等式 $4 + k > 0$ 和 $-4 + k < 0$，得到 $k > -4$ 和 $k < 4$。因此，$k$ 的取值范围是 $-4 < k < 4$。