(3)(2019304)已知方程 ^5-5x+k=0 有3个不同的实根,则k的取值范围是() ()-|||-A. (-infty ,-4) B. (4,+infty ) C. [ -4,4] D. (-4,4)

考查要点：本题主要考查利用导数分析函数图像的单调性、极值点，进而确定方程实根个数的方法。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为函数$f(x) = x^5 -5x +k$，分析其图像与x轴的交点情况。
2. 求导分析单调性：通过导数$f'(x)$确定函数的极值点，划分单调区间。
3. 极值点函数值符号判断：通过极大值点$f(-1)$和极小值点$f(1)$的函数值符号，确定方程有3个实根的条件。

破题关键点：

• 导数的零点：$x = \pm 1$，划分函数的单调区间。
• 极值点的函数值：极大值$f(-1) > 0$和极小值$f(1) < 0$是方程有3个实根的充要条件。

步骤1：求导数并分析单调性

函数$f(x) = x^5 -5x +k$的导数为：
$f'(x) = 5x^4 -5 = 5(x^4 -1) = 5(x^2 +1)(x^2 -1).$
令$f'(x) = 0$，解得$x = \pm 1$。

• 当$x < -1$时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；
• 当$-1 < x < 1$时，$f'(x) < 0$，函数单调递减；
• 当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，函数单调递增。

步骤2：确定极值点的函数值

• 极大值点$x = -1$：
  $f(-1) = (-1)^5 -5(-1) +k = -1 +5 +k = 4 +k.$
• 极小值点$x = 1$：
  $f(1) = 1^5 -5(1) +k = 1 -5 +k = -4 +k.$

步骤3：分析方程有3个实根的条件

函数图像需满足：

1. 极大值点$f(-1) > 0$：保证函数在$x = -1$左侧与x轴有交点；
2. 极小值点$f(1) < 0$：保证函数在$x = 1$右侧与x轴有交点。
   联立得：
   $\begin{cases}4 +k > 0 \implies k > -4, \\-4 +k < 0 \implies k < 4.\end{cases}$
   综上，$k$的取值范围为$(-4, 4)$。