题目
计算: (25 times 26 + 26 times 27 + 27 times 28 + ldots + 37 times 38)/(frac(1){12) + (1)/(20) + (1)/(30) + (1)/(42)} = ( ). - 66152.7 - 68659.5 - 66643.3 - 69383.9
计算:
$\frac{25 \times 26 + 26 \times 27 + 27 \times 28 + \ldots + 37 \times 38}{\frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42}} = (\quad)$.
- 66152.7
- 68659.5
- 66643.3
- 69383.9
题目解答
答案
**分子计算：**
\[
\sum_{n=25}^{37} n(n+1) = \sum_{n=25}^{37} (n^2 + n) = \left(\sum_{n=1}^{37} - \sum_{n=1}^{24}\right) (n^2 + n)
\]
利用公式求和：
\[
\sum_{n=1}^{37} n^2 = \frac{37 \cdot 38 \cdot 75}{6} = 17575, \quad \sum_{n=1}^{24} n^2 = \frac{24 \cdot 25 \cdot 49}{6} = 4900
\]
\[
\sum_{n=25}^{37} n^2 = 17575 - 4900 = 12675, \quad \sum_{n=25}^{37} n = 703 - 300 = 403
\]
总和：
\[
12675 + 403 = 13078
\]
**分母计算：**
\[
\frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} = \frac{1}{3} - \frac{1}{7} = \frac{4}{21}
\]
**原式结果：**
\[
\frac{13078}{\frac{4}{21}} = 13078 \times \frac{21}{4} = 68659.5
\]
**答案：** $\boxed{B}$
解析
本题主要考查数列求和公式的运用以及分数的裂项相消法进行计算。解题思路是分别计算分子和分母的值，再将分子除以分母得到最终结果。
- 计算分子的值：
- 首先，将分子中的每一项$n(n + 1)$展开为$n^2 + n$，那么分子$\sumsum_{n = 25}^{37} n(n + 1)$就可以转化为$\sum_{n = 25}^{37} (n^2 + n)$。
- 根据数列求和的性质，$\sum_{n = 25}^{37} (n^2 + n)=\left(\sum_{n = = 1}^{37} (n^2 + n)-\sum_{n = 1}^{24} (n^2 + n)\right)$。
- 然后，利用平方和公式$\sum_{n=1}^{k}n^2=\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$以及等差数列求和公式$\sum_{n=1}^{k}n=\frac{k(k + 1)k}{2}$来分别计算$\sum_{n = 1}^{37} n^2$、$\sum_{n = 1}^{24} n^2$、$\sum_{n = 1}^{37} n$和$\sum_{n = 1}^{24} n$。
- 计算$\sum_{n = 1}^{37} n^2$：
将$k = 37$代入平方和公式$\sum_{n=1}^{k}n^2}=\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$，可得$\sum_{n = 1}^{37} n^2=\frac{37\times(37 + 1)\times(2\times37 + 1)}{6}=\frac{37\times38\times75}{6}=17575$。 - 计算$\sum_{n = 1}^{24} n^2$：
将$k = 24$代入平方和公式$\sum_{n=1}^{k}n^2=\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$，可得$\sum_{n = 1}^{24} n^2=\frac{24\times(24 + 1)\times(2\times24 + 1)}{)}{6}=\frac{24\times25\times49}{6}=4900$。 - 计算$\sum_{n = 1}^{37} n$：
将$k = 37$代入等差数列求和公式$\sum_{n=1}^{k}n=\frac{k(k + 1)}{2}$，可得$\sum_{n = 1}^{37} n=\frac{37\times(37 + 1)}{2}=\frac{37\times38}{2}=703$。 - 计算$\sum_{n = 1}^{24} n$：
将$k = 24$代入等差数列求和公式$\sum_{n=1}^{k}n=\frac{k(k + 1)}{2}$，可得$\sum_{n = 1}^{24} n=\frac{24\times(24 + 1)}{2}=\frac{24\times25}{2}=300$。
- 计算$\sum_{n = 1}^{37} n^2$：
- 接着，计算$\sum_{n = 25}^{37} n^2$和$\sum_{n = 25}^{37} n$：
$\sum_{n = 25}^{37} n^2=\sum_{n = 1}^{37} n^2-\sum_{n = 1}^{24} n^2=175 - 4900 = 12675$；
$\sum_{n = 25}^{37} n=\sum_{n = 1}^{37} n-\sum_{n = 1}^{24} n=703 - 300 = 403$。 - 最后，计算分子的值：
$\sum_{n = 25}^{37} (n^2 + n)=\sum_{n = 25}^{37} n^2+\sum_{n = 25}^{37} n=12675 + 403 = 13078$。
- 计算分母的值：
- 对分母中的每一项进行裂项：
$\frac{1}{12}=\frac{1}{3\times4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
$\frac{1}{20}=\frac{1}{4\times5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；
$\frac{1}{30}=\frac{1}{5\times}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$；
$\frac{1}{42}=\frac{1}{6\times7}=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$。 - 则分母$\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})$。
- 去括号后中间项可以相互抵消，得到$\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{7 - 3}{21}=\frac{4}{21}$。
- 对分母中的每一项进行裂项：
- 计算原式结果：
将分子$13078$除以分母$\frac{4}{21}$，即\询问\\(\frac{13078}{\frac{4}{21}} = 13078\times\frac{21}{4}=68659.5\)。