题目
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则 （ ）A.R(A)=R(B)=m B.R(A)=m ;R(B)=nC.R(A)=N;R(B)=m D.R(A)=R(B)=n
设A是m
n矩阵，B是nm矩阵，且AB=E,其中E为m阶单位矩阵，则 （ ）
A.R(A)=R(B)=m B.R(A)=m ;R(B)=n
C.R(A)=N;R(B)=m D.R(A)=R(B)=n
题目解答
答案
因为AB=E,故R(E)=m=R(AB).
又R(AB)≤R(A),R(AB)≤R(B).
故有 m=R(AB)≤R(A),m=R(AB)≤R(B).
A是mn矩阵,B是nm矩阵,所以显然R(A）≤m,R(B）≤m
结合上述不等式可得R(A)=R(B)=m ，即应该选A
解析
步骤 1：确定矩阵乘积的秩
由于AB=E，其中E是m阶单位矩阵，我们知道E的秩R(E)等于m。根据矩阵乘积的秩的性质，我们有R(AB)≤R(A)和R(AB)≤R(B)。因此，R(E)=m=R(AB)≤R(A)和R(AB)≤R(B)。
步骤 2：确定矩阵A和B的秩
由于A是mn矩阵，B是nm矩阵，我们知道R(A)≤m和R(B)≤m。结合步骤1中的不等式，我们得到m=R(AB)≤R(A)和m=R(AB)≤R(B)。因此，R(A)=m和R(B)=m。
步骤 3：选择正确的选项
根据步骤2的结论，R(A)=m和R(B)=m，因此选项A是正确的。
由于AB=E，其中E是m阶单位矩阵，我们知道E的秩R(E)等于m。根据矩阵乘积的秩的性质，我们有R(AB)≤R(A)和R(AB)≤R(B)。因此，R(E)=m=R(AB)≤R(A)和R(AB)≤R(B)。
步骤 2：确定矩阵A和B的秩
由于A是mn矩阵，B是nm矩阵，我们知道R(A)≤m和R(B)≤m。结合步骤1中的不等式，我们得到m=R(AB)≤R(A)和m=R(AB)≤R(B)。因此，R(A)=m和R(B)=m。
步骤 3：选择正确的选项
根据步骤2的结论，R(A)=m和R(B)=m，因此选项A是正确的。