求方程 dfrac (dy)(dx)=2x-1-3(y)^2 通过点dfrac (dy)(dx)=2x-1-3(y)^2 的第二次近似解.dfrac (dy)(dx)=2x-1-3(y)^2

步骤 1：确定初始条件
给定的初始条件是 $y(1) = 0$，即当 $x=1$ 时，$y=0$。

步骤 2：求第一次近似解
令 ${\varphi }_{0}(x)=0$，则第一次近似解 ${p}_{1}(x)$ 可以通过积分得到：
\[
{p}_{1}(x) = y_{0} + \int_{1}^{x} [2t - 1 - 3{\varphi }_{0}^{2}(t)] dt = 0 + \int_{1}^{x} [2t - 1] dt = \left. (t^2 - t) \right|_{1}^{x} = x^2 - x
\]

步骤 3：求第二次近似解
将第一次近似解 ${p}_{1}(x) = x^2 - x$ 代入原方程，求第二次近似解 ${p}_{2}(x)$：
\[
{p}_{2}(x) = y_{0} + \int_{1}^{x} [2t - 1 - 3(p_{1}(t))^2] dt = 0 + \int_{1}^{x} [2t - 1 - 3(t^2 - t)^2] dt
\]
\[
= \int_{1}^{x} [2t - 1 - 3(t^4 - 2t^3 + t^2)] dt = \int_{1}^{x} [2t - 1 - 3t^4 + 6t^3 - 3t^2] dt
\]
\[
= \left. \left( t^2 - t - \frac{3}{5}t^5 + \frac{3}{2}t^4 - t^3 \right) \right|_{1}^{x} = \frac{1}{10} - x + x^2 - x^3 + \frac{3}{2}x^4 - \frac{3}{5}x^5
\]