题目
1.求极限lim_(xtoinfty)(1-(3)/(x))^5x
1.求极限$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{5x}$
题目解答
答案
将原式改写为指数形式：
\[
\left(1 - \frac{3}{x}\right)^{5x} = e^{5x \ln \left(1 - \frac{3}{x}\right)}
\]
利用泰勒展开 $\ln(1 + y) \approx y$（当 $y \to 0$）：
\[
\ln \left(1 - \frac{3}{x}\right) \approx -\frac{3}{x}
\]
代入指数部分：
\[
5x \ln \left(1 - \frac{3}{x}\right) \approx 5x \left(-\frac{3}{x}\right) = -15
\]
取极限得：
\[
\lim_{x \to \infty} 5x \ln \left(1 - \frac{3}{x}\right) = -15
\]
因此，原极限为：
\[
\boxed{e^{-15}}
\]
或者使用重要极限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$：
\[
\left(1 - \frac{3}{x}\right)^{5x} = \left[\left(1 + \left(-\frac{3}{x}\right)\right)^{-\frac{x}{3}}\right]^{-15} \to e^{-15}
\]
答案：$\boxed{e^{-15}}$
解析
本题主要考察极限计算中两个重要的方法：利用指数形式转化与泰勒展开，以及重要极限公式的应用。
方法一：指数形式转化与泰勒展开
对于极限$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{3}{x}\right)^{5x}$，关键在于处理$1^\infty$型未定式。
- 指数形式改写：
利用$a^b = e^{b\ln a}$，将原式转化为：
$\left(1 - \frac{3}{x}\right)^{5x} = e^{5x \ln \left(1 - \frac{3}{x}\right)}$ - 泰勒展开近似：
当$x\to\infty$时，$\frac{3}{x}\to0$，根据$\ln(1+y)\approx y$（$y\to0$），得：
$\ln\left(1 - \frac{3}{x}\right) \approx -\frac{3}{x}$ - 代入指数部分计算：
$5x \ln\left(1 - \frac{3}{x}\right) \approx 5x \cdot \left(-\frac{3}{x}\right) = -15$ - 取极限：
$\lim_{x\to\infty} 5x \ln\left(1 - \frac{3}{x}\right) = -15$
因此，原极限为$e^{-15}$。
方法二：重要极限公式
利用重要极限$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$：
- 凑重要极限形式：
$\left(1 - \frac{3}{x}\right)^{5x} = \left[\left(1 + \left(-\frac{3}{x}\right)\right)^{-\frac{x}{3}}\right]^{-15}$ - 应用重要极限：
令$t = -\frac{x}{3}$，则当$x\to\infty$时$t\to\infty$，故：
$\left(1 + \frac{a}{x}\right)^x \to e^a \implies \left(1 - \frac{3}{x}\right)^{-\frac{x}{3}} \to e^1$ - 计算最终极限：
$\left[\left(1 - \frac{3}{x}\right)^{-\frac{x}{3}}\right]^{-15} \to e^{-15}$