8. 单边拉氏变换F(s)=(e^-s)/(s^2)+1的原函数为（）A. sin(t-1)u(t-1)B. sin(t-1)u(t)C. cos(t-1)u(t-1)D. cos(t-1)u(t)

本题考查单边拉普拉斯变换的时移性质及基本拉普拉斯变换对。

步骤1：回顾基本拉普拉斯变换对

已知正弦函数的单边拉普拉斯变换为：
$\mathcal{L}\{ \sin(kt)u(t) \} = \frac{k}{s^2 + k^2}$
当$k=1$时，对应：
$\mathcal{L}\{ \sin(t)u(t) \} = \frac{1}{s^2 + 1}$

步骤2：应用时移性质

单边拉普拉斯变换的时移性质：若$\mathcal{L}\{ f(t)u(t) \}=F(s)$，则：
$\mathcal{L}\{ f(t - t_0)u(t - t_0) \}=e^{-s t_0}F(s)$

对比题目中的$F(s)=\frac{e^{-s}}{s^2 + 1}$，可知：

• $e^{-s t_0}=e^{-s}$，故$t_0=1$；
• $F(s)=\frac{1}{s^2 + 1}$对应原函数$f(t)=\sin(t)u(t)$。

步骤3：确定原函数

根据时移性质，$\frac{e^{-s}}{s^2 + 1}$的原函数为：
$\sin(t - 1)u(t - 1)$