题目

求幂级数 sum_(n=0)^infty ((-1)^n x^2n+1)/(2n+1) 的收敛域。

求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ 的收敛域。

题目解答

答案

我们要求幂级数
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$
的收敛域，也就是所有使得该级数收敛的 $ x $ 的取值范围。

第一步：识别级数结构

观察这个级数：
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$

  • 它是一个幂级数，但只含有奇数次幂（$x^1, x^3, x^5, \dots$）。
  • 系数是 $\frac{(-1)^n}{2n+1}$，变量是 $x^{2n+1}$。

这个形式让我们联想到反正切函数的泰勒展开。

第二步：与已知展开式对比

我们知道，反正切函数的麦克劳林级数展开为：
$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}, \quad \text{当 } |x| \leq 1$

这与题目中的级数完全一致！

所以这个幂级数就是 $\arctan x$ 的展开式。

第三步：利用已知结论求收敛域

根据 $\arctan x$ 的泰勒级数的收敛性结论：

  • 收敛半径为 $ R = 1 $
  • 在区间 $(-1, 1)$ 内绝对收敛
  • 在端点 $x = 1$ 和 $x = -1$ 处条件收敛

我们来验证端点处的收敛性。

第四步：使用比值判别法求收敛半径（可选，验证）

虽然我们知道它是 $\arctan x$ 的展开，但也可以通过比值判别法来求收敛半径。

令通项为：
$a_n = \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$

考虑相邻项的绝对值之比：
$\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{(-1)^{n+1} x^{2n+3}}{2n+3}}{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}} \right| = \left| \frac{x^{2n+3}}{2n+3} \cdot \frac{2n+1}{x^{2n+1}} \right| = |x|^2 \cdot \frac{2n+1}{2n+3}$

取极限：
$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = |x|^2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2n+3} = |x|^2 \cdot 1 = |x|^2$

由比值判别法，当 $|x|^2 < 1$，即 $|x| < 1$ 时，级数绝对收敛；
当 $|x|^2 > 1$，即 $|x| > 1$ 时，级数发散。

所以收敛半径为 1，在 $|x| < 1$ 内收敛，$|x| > 1$ 发散。

接下来检查端点 $x = 1$ 和 $x = -1$。

第五步：检查端点收敛性

1. 当 $x = 1$ 时，级数变为：

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (1)^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$

这是一个交错级数，通项 $ \frac{1}{2n+1} $ 单调递减趋于 0。

由莱布尼茨判别法，该级数收敛。

2. 当 $x = -1$ 时，级数变为：

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (-1)^{2n+1}}{2n+1}$

注意：$(-1)^{2n+1} = -1$，所以：
$(-1)^n \cdot (-1)^{2n+1} = (-1)^n \cdot (-1) = -(-1)^n$

所以级数为：
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{-(-1)^n}{2n+1} = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$

这仍然是一个交错级数，与上面相同，只是整体有个负号，仍然收敛。

第六步：结论

  • 当 $|x| < 1$ 时，级数绝对收敛；
  • 当 $x = 1$ 时，级数收敛；
  • 当 $x = -1$ 时，级数收敛；
  • 当 $|x| > 1$ 时，级数发散。

因此，收敛域为闭区间 $[-1, 1]$。

✅ 最终答案：

$\boxed{[-1,\ 1]}$

这就是该幂级数的收敛域。

解析

本题考查幂级数收敛域的求解。解题思路是先通过与已知函数的泰勒展开式对比，初步确定收敛半径和可能的收敛区间，再使用比值判别法验证收敛半径，最后检查区间端点处级数的收敛性，从而确定完整的收敛域。

  1. 识别级数结构：
    给定幂级数$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n + 1}}{2n + 1}$，它只含有奇数次幂，形式与反正切函数的泰勒展开式相关。
  2. 与已知展开式对比：
    我们知道反正切函数的麦克劳林级数展开为$\arctan x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n + 1}}{2n + 1}$，且其收敛区间为$|x| \leq 1$，由此可知该幂级数就是$\arctan x$的展开式。
  3. 使用比值判别法求收敛半径：
    令通项$a_n = \frac{(-1)^n x^{2n + 1}}{2n + 1}$，计算相邻两项绝对值之比：
    $\left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right| = \left| \frac{\frac{(-1)^{n + 1} x^{2n + 3}}{2n + 3}}{\frac{(-1)^n x^{2n + 1}}{2n + 1}} \right|$
    $=\left| \frac{x^{2n + 3}}{2n + 3} \cdot \frac{2n + 1}{x^{2n + 1}} \right|$
    $= |x|^2 \cdot \frac{2n + 1}{2n + 3}$
    求极限$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right|$：
    $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right| = |x|^2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{2n + 3}$
    对于$\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{2n + 3}$，分子分母同时除以$n$得：
    $\lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n}} = \frac{2 + 0}{2 + 0} = 1$
    所以$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n + 1}}{a_n} \right| = |x|^2$。
    由比值判别法，当$|x|^2 < 1$，即$|x| < 1$时，级数绝对收敛；当$|x|^2 > 1$，即$|x| > 1$时，级数发散。因此，收敛半径$R = 1$。
  4. 检查端点收敛性：
    • 当$x = 1$时，级数变为$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n (1)^{2n + 1}}{2n + 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1}$。
      这是一个交错级数，设$u_n = \frac{1}{2n + 1}$，则$u_{n + 1} = \frac{1}{2(n + 1) + 1} = \frac{1}{2n + 3}$。
      显然$u_{n + 1} < u_n$，且$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n + 1} = 0$。
      根据莱布尼茨判别法，该级数收敛。
    • 当$x = -1$时，级数变为$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n (-1)^{2n + 1}}{2n + 1}$。
      因为$(-1)^{2n + 1} = -1$，所以$(-1)^n \cdot (-1)^{2n + 1} = (-1)^n \cdot (-1) = -(-1)^n$，则级数为$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{-(-1)^n}{2n + 1} = -\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1}$。
      这与$x = 1$时的级数只是整体有个负号，仍然收敛。
  5. 确定收敛域：
    综合以上分析，当$|x| < 1$时，级数绝对收敛；当$x = 1$和$x = -1$时，级数收敛；当$|x| > 1$时，级数发散。所以，该幂级数的收敛域为$[-1, 1]$。