题目
64. (1.0分) 如果曲线弧由直角坐标方程y=f(x)(a≤x≤b)给出，其中f(x)在区间[a,b]上有连续的一阶导数，则曲线弧的弧长公式为s=∫_(a)^b ds=∫_(a)^b √[1+y'^2(x)]dx=∫_(a)^b √[1+f'^2(x)]dxA. 对B. 错
64. (1.0分) 如果曲线弧由直角坐标方程y=f(x)(a≤x≤b)给出，其中f(x)在区间[a,b]上有连续的一阶导数，则曲线弧的弧长公式为s=∫_{a}^{b} ds=∫_{a}^{b} √[1+y'^{2}(x)]dx=∫_{a}^{b} √[1+f'^{2}(x)]dx
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：理解曲线弧长的定义
曲线弧长的定义是曲线从一点到另一点的长度。对于由直角坐标方程 $y=f(x)$ 给出的曲线弧，其弧长可以通过积分来计算。
步骤 2：应用弧长公式
根据弧长的定义，曲线 $y=f(x)$ 从 $x=a$ 到 $x=b$ 的弧长 $s$ 可以表示为： \[ s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] 其中，$\frac{dy}{dx}$ 是曲线的斜率，即 $y$ 关于 $x$ 的导数。
步骤 3：将导数代入公式
由于 $y=f(x)$，导数 $\frac{dy}{dx}$ 等于 $f'(x)$。将 $f'(x)$ 代入 $\frac{dy}{dx}$ 的公式中，我们得到： \[ s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( f'(x) \right)^2} \, dx \] 这与题目中给出的公式相匹配： \[ s = \int_{a}^{b} ds = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + y'^2(x)} \, dx = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f'^2(x)} \, dx \] 因此，给定的曲线弧长公式是正确的。
曲线弧长的定义是曲线从一点到另一点的长度。对于由直角坐标方程 $y=f(x)$ 给出的曲线弧，其弧长可以通过积分来计算。
步骤 2：应用弧长公式
根据弧长的定义，曲线 $y=f(x)$ 从 $x=a$ 到 $x=b$ 的弧长 $s$ 可以表示为： \[ s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] 其中，$\frac{dy}{dx}$ 是曲线的斜率，即 $y$ 关于 $x$ 的导数。
步骤 3：将导数代入公式
由于 $y=f(x)$，导数 $\frac{dy}{dx}$ 等于 $f'(x)$。将 $f'(x)$ 代入 $\frac{dy}{dx}$ 的公式中，我们得到： \[ s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( f'(x) \right)^2} \, dx \] 这与题目中给出的公式相匹配： \[ s = \int_{a}^{b} ds = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + y'^2(x)} \, dx = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f'^2(x)} \, dx \] 因此，给定的曲线弧长公式是正确的。