题目

已知f(x)=int_(0)^xe^sqrt(t),dt，求f(1)=(）. A. 0B. 0C. 1D. eE. e^-1

已知$f(x)=\int_{0}^{x}e^{\sqrt{t}}\,dt$，求$f(1)=$(）.

  • A. 0
  • B. 0
  • C. 1
  • D. $e$
  • E. $e^{-1}$

题目解答

答案

为了求解 $ f'(1) $，我们首先需要理解函数 $ f(x) $ 的定义。函数 $ f(x) $ 是一个定积分，其形式为： \[ f(x) = \int_{0}^{x} e^{\sqrt{t}} \, dt \] 根据微积分基本定理，如果 $ f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt $，那么 $ f'(x) = g(x) $。在本题中， $ g(t) = e^{\sqrt{t}} $，因此我们有： \[ f'(x) = e^{\sqrt{x}} \] 现在，我们需要求 $ f'(1) $。将 $ x = 1 $ 代入 $ f'(x) $ 的表达式中，我们得到： \[ f'(1) = e^{\sqrt{1}} = e^1 = e \] 因此， $ f'(1) $ 的值为 $ e $。 正确答案是 $\boxed{D}$。

解析

考查要点：本题主要考查微积分基本定理的应用，即如何对积分上限函数求导。

解题核心思路：根据微积分基本定理，若函数定义为$f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$，则其导数为$f'(x) = g(x)$。本题中被积函数为$e^{\sqrt{t}}$，因此直接应用定理即可求解。

破题关键点：

  1. 识别积分上限函数的形式，明确被积函数$g(t) = e^{\sqrt{t}}$。
  2. 直接应用微积分基本定理，无需先计算积分再求导。

根据微积分基本定理，若$f(x) = \int_{0}^{x} e^{\sqrt{t}} \, dt$，则其导数为：
$f'(x) = e^{\sqrt{x}}$

将$x = 1$代入得：
$f'(1) = e^{\sqrt{1}} = e^{1} = e$

因此，正确答案为选项 D。