题目
3.求曲线 =(x)^2, =(x)^2y 在点 x=2 处的切线方程和法平面方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线在点 x=2 处的坐标
给定曲线 $y={x}^{2}$ 和 $z={x}^{2}y$，当 x=2 时，代入得到 y=4 和 z=16。因此，曲线在点 x=2 处的坐标为 (2, 4, 16)。
步骤 2：计算曲线在点 x=2 处的切线方向向量
曲线的参数方程为 $\vec{r}(x) = (x, x^2, x^4)$。切线方向向量为 $\vec{r}'(x) = (1, 2x, 4x^3)$。当 x=2 时，切线方向向量为 $\vec{r}'(2) = (1, 4, 32)$。
步骤 3：写出切线方程
切线方程为 $\dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y-4}{4} = \dfrac{z-16}{32}$，即 $x-2=\dfrac{y-4}{4}=\dfrac{z-16}{32}$。
步骤 4：写出法平面方程
法平面方程为 $1(x-2) + 4(y-4) + 32(z-16) = 0$，即 $x+4y+32z=522$。
给定曲线 $y={x}^{2}$ 和 $z={x}^{2}y$，当 x=2 时，代入得到 y=4 和 z=16。因此，曲线在点 x=2 处的坐标为 (2, 4, 16)。
步骤 2：计算曲线在点 x=2 处的切线方向向量
曲线的参数方程为 $\vec{r}(x) = (x, x^2, x^4)$。切线方向向量为 $\vec{r}'(x) = (1, 2x, 4x^3)$。当 x=2 时，切线方向向量为 $\vec{r}'(2) = (1, 4, 32)$。
步骤 3：写出切线方程
切线方程为 $\dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y-4}{4} = \dfrac{z-16}{32}$，即 $x-2=\dfrac{y-4}{4}=\dfrac{z-16}{32}$。
步骤 4：写出法平面方程
法平面方程为 $1(x-2) + 4(y-4) + 32(z-16) = 0$，即 $x+4y+32z=522$。