求向量组 alpha_1=(-1,1,1), alpha_2=(1,3,5), alpha_3=(6,2,6), alpha_4=(-2,4,5) 的秩和一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组表示出来

将向量组构成矩阵 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 6 & -2 \\ 1 & 3 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 6 & 5 \end{pmatrix}$，进行初等行变换得行最简形：
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 2 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
矩阵秩为2，极大无关组为 $\alpha_1, \alpha_2$。其余向量表示为：
$\alpha_3 = -4\alpha_1 + 2\alpha_2, \quad \alpha_4 = \frac{5}{2}\alpha_1 + \frac{1}{2}\alpha_2$
答案：
向量组的秩为2，一个极大无关组为 $\alpha_1, \alpha_2$，其余向量表示为 $\alpha_3 = -4\alpha_1 + 2\alpha_2$，$\alpha_4 = \frac{5}{2}\alpha_1 + \frac{1}{2}\alpha_2$。