题目
2.设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,在区间[0,2]上,f(x)=x(x²-4),若对任意的x都满足f(x)=-(1)/(2)f(x+2). 写出f(x)在[-2,0)上的表达式.
2.设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,在区间[0,2]上,f(x)=x(x²-4),若对任意的x都满足
$f(x)=-\frac{1}{2}f(x+2).$ 写出f(x)在[-2,0)上的表达式.
题目解答
答案
设 $ x \in [-2, 0) $，则 $ x + 2 \in [0, 2) $。根据题意，$ f(x) = -\frac{1}{2} f(x+2) $。已知 $ f(x+2) = (x+2)((x+2)^2 - 4) $，展开得：
\[
f(x+2) = (x+2)(x^2 + 4x) = x^3 + 6x^2 + 8x.
\]
代入递推关系，得：
\[
f(x) = -\frac{1}{2} (x^3 + 6x^2 + 8x) = -\frac{1}{2} x^3 - 3x^2 - 4x.
\]
因此，$ f(x) $ 在 $[-2, 0)$ 上的表达式为：
\[
\boxed{-\frac{1}{2} x^3 - 3x^2 - 4x}.
\]
解析
本题考查函数表达式的求解，解题的关键在于利用已知区间$[0,2]$上的函数表达式以及递推关系$f(x)=-\frac{1}{2}f(x + 2)$来推导$[-2,0)$上的函数表达式。
- 确定$x + 2$的区间：
已知$x\in[-2,0)$，给$x$的不等式两边同时加$2$，根据不等式的性质，不等号方向不变，可得$x + 2\in[0,2)$。 - 求出$f(x + 2)$的表达式：
因为$x + 2\in[0,2)$，所以$f(x + 2)$满足$f(x)=x(x^{2}-4)$这一表达式，将$x$替换为$x + 2$，可得$f(x + 2)=(x + 2)[(x + 2)^{2}-4]$。
接下来对$(x + 2)[(x + 2)^{2}-4]$进行化简：- 先根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开$(x + 2)^{2}$，得到$(x + 2)^{2}=x^{2}+4x + 4$。
- 则$(x + 2)^{2}-4=x^{2}+4x + 4 - 4=x^{2}+4x$。
- 所以$f(x + 2)=(x + 2)(x^{2}+4x)$。
- 再根据乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$展开$(x + 2)(x^{2}+4x)$，可得$f(x + 2)=x(x^{2}+4x)+2(x^{2}+4x)=x^{3}+4x^{2}+2x^{2}+8x=x^{3}+6x^{2}+8x$。
- 求出$f(x)$的表达式：
已知$f(x)=-\frac{1}{2}f(x + 2)$，将$f(x + 2)=x^{3}+6x^{2}+8x$代入该式，可得$f(x)=-\frac{1}{2}(x^{3}+6x^{2}+8x)$。
根据乘法分配律展开$-\frac{1}{2}(x^{3}+6x^{2}+8x)$，即$f(x)=-\frac{1}{2}x^{3}-3x^{2}-4x$。