题目
[5.6]设X为随机变量,若矩阵A= [ } 2& 3& 2 0& -2& -x 0& 1& 0 ] . 的特征值全为实数的概率为0.5,-|||-则 ()-|||-(A)X服从区间[0,2]的均匀分布 (B)X服从二项分布B(2,0.5)-|||-(C)X服从参数为1的指数分布 (D)X服从正态分布N(0,1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算矩阵A的特征多项式
矩阵A的特征多项式可以通过计算行列式 $|\lambda E-A|$ 得到，其中E是单位矩阵。计算如下：
$$
|\lambda E-A| = \left | \begin{matrix} \lambda -2& -3& -2\\ 0& \lambda +2& x\\ 0& -1& \lambda \end{matrix} \right | = (\lambda-2)(\lambda^2+2\lambda+x)
$$
步骤 2：确定特征值全为实数的条件
特征值全为实数的条件是特征多项式的判别式非负，即 $\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$。对于二次多项式 $\lambda^2+2\lambda+x$，判别式为 $2^2 - 4 \cdot 1 \cdot x = 4 - 4x$。因此，特征值全为实数的条件是 $4 - 4x \geq 0$，即 $x \leq 1$。
步骤 3：确定概率为0.5的分布
题目中给出的概率为0.5，即 $P\{x \leq 1\} = 0.5$。根据这个条件，我们可以判断X的分布。对于均匀分布，如果X在区间[0,2]上均匀分布，则 $P\{x \leq 1\} = \frac{1}{2}$，满足条件。对于二项分布、指数分布和正态分布，它们的概率分布函数形式不同，不能直接满足这个条件。
矩阵A的特征多项式可以通过计算行列式 $|\lambda E-A|$ 得到，其中E是单位矩阵。计算如下：
$$
|\lambda E-A| = \left | \begin{matrix} \lambda -2& -3& -2\\ 0& \lambda +2& x\\ 0& -1& \lambda \end{matrix} \right | = (\lambda-2)(\lambda^2+2\lambda+x)
$$
步骤 2：确定特征值全为实数的条件
特征值全为实数的条件是特征多项式的判别式非负，即 $\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$。对于二次多项式 $\lambda^2+2\lambda+x$，判别式为 $2^2 - 4 \cdot 1 \cdot x = 4 - 4x$。因此，特征值全为实数的条件是 $4 - 4x \geq 0$，即 $x \leq 1$。
步骤 3：确定概率为0.5的分布
题目中给出的概率为0.5，即 $P\{x \leq 1\} = 0.5$。根据这个条件，我们可以判断X的分布。对于均匀分布，如果X在区间[0,2]上均匀分布，则 $P\{x \leq 1\} = \frac{1}{2}$，满足条件。对于二项分布、指数分布和正态分布，它们的概率分布函数形式不同，不能直接满足这个条件。