[题目]计算 lim _(narrow infty )cos (sqrt (n+1)-sqrt (n))

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及三角函数与根式差的结合形式。关键在于将根式差转化为更易处理的形式，并利用余弦函数在0处的连续性求解。

解题核心思路：

1. 有理化处理：通过分子分母同乘以共轭表达式，将根式差转化为分式形式，简化表达式。
2. 极限分析：当$n \rightarrow \infty$时，分母的和$\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$趋近于无穷大，从而分式整体趋近于0。
3. 余弦函数性质：利用$\cos 0 = 1$，结合极限的连续性，直接得出结果。

步骤1：有理化根式差
原式中的根式差$\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$可通过有理化处理：
$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}.$

步骤2：分析分式极限
当$n \rightarrow \infty$时，分母$\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$近似为$2\sqrt{n}$，因此：
$\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \approx \frac{1}{2\sqrt{n}} \rightarrow 0.$

步骤3：代入余弦函数
由于$\cos x$在$x=0$处连续，可得：
$\lim_{n \rightarrow \infty} \cos\left(\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\right) = \cos\left(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}\right) = \cos 0 = 1.$