10. (6.0分) lim_(x to 0) (2^x-1)/(x)= ( )A. ln2B. 2C. 1D. 0

考查要点：本题主要考查指数函数的极限公式及其应用，以及利用导数定义或泰勒展开求解极限的能力。

解题核心思路：
当遇到形如 $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x}$ 的极限时，可直接应用公式 $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$。此外，也可通过导数定义（将极限视为函数在某点的导数）或泰勒展开（将指数函数展开为多项式形式）进行推导。

破题关键点：

1. 识别标准极限形式，直接应用公式。
2. 若公式记忆模糊，可通过导数定义验证：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0)$，其中 $f(x) = 2^x$。
3. 或利用泰勒展开将 $2^x$ 展开为 $1 + x \ln 2 + \cdots$，简化后直接求极限。

方法一：直接应用标准极限公式
已知 $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$，代入 $a = 2$，得：
$\lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x} = \ln 2$

方法二：导数定义法
设 $f(x) = 2^x$，则 $f(0) = 1$。根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2^x - 1}{x}$
又 $f'(x) = 2^x \ln 2$，因此 $f'(0) = \ln 2$，即原极限为 $\ln 2$。

方法三：泰勒展开法
将 $2^x$ 写成 $e^{x \ln 2}$，展开泰勒级数：
$e^{x \ln 2} = 1 + x \ln 2 + \frac{(x \ln 2)^2}{2!} + \cdots$
因此：
$\frac{2^x - 1}{x} = \frac{(1 + x \ln 2 + \cdots) - 1}{x} = \ln 2 + \frac{x \ln^2 2}{2} + \cdots$
当 $x \to 0$ 时，高阶小项趋近于 $0$，故极限为 $\ln 2$。